Uebung_4_LSG.ipynb

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   "id": "28b9f724",
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   "source": [
    "# <font color='blue'>**Übung 4 - Evolutionärer Algorithmus**</font>\n",
    "(Diese Übung gehört zur Vorlesungseinheit 5)\n",
    "\n",
    "## <font color='blue'>**Problemstellung: Strukturdimensionierung eines Fachwerk-Kragarms**</font>\n",
    "### <font color='blue'>**Problembeschreibung**</font>\n",
    "\n",
    "Die Stäbe eines Fachwerk-Kragarms sollen möglichst materialsparend ausgelegt werden. Der Kragarm soll 1.000.000 N Gewichtskraft (ca. 100t) bei 10 m Distanz tragen können. Die Geometrie und der Auslegungslastfall sind der Skizze dargestellt:"
   ]
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    "![](Pics/Truss_layout_annotated.png)"
   ]
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   "source": [
    "Der Querschnitt der Stäbe soll so bestimmt werden, dass die Streckgrenze des Materials mit einem Sicherheitsfaktor von **S = 2** bei dem beschriebenen Lastfall nicht erreicht wird. Dabei soll dennoch möglichst wenig Material eingesetzt werden. Für die Berechnung der auftretenden Spannungen steht bereits ein Tool zur Verfügung, zudem kann das Eigengewicht der Stäbe für den Lastfall vernachlässigt werden. Folgendes Material soll verwendet werden:\n",
    "\n",
    "| **Baustahl E360** |  |\n",
    "| --- | --- |\n",
    "| Streckgrenze $R_p$ | 360 MPa |\n",
    "| E-Modul $E$ | 210 GPa | \n",
    "| Dichte $\\varrho$ | 7.85 t/m³ | \n",
    "\n",
    "\n",
    "### <font color='blue'>**Modellbildung**</font>\n",
    "\n",
    "Das Fachwerk wird mithilfe eines bereitgestellten Tools `FETool` modelliert. \n",
    "* Es erhält Informationen über die Knotenkoordinaten, welche Knoten verbunden sind, E-Modul und Querschnittsfläche der Verbindungen (Stäbe), sowie Randbedingungen und Kräfte. \n",
    "* Es liefert Verschiebungen und Spannungen. Für die Problemstellung ist dabei hauptsächlich die Spannung relevant. \n",
    "\n",
    "Die Nutzung des Tools `FETool` wird in einem separaten Notebook genauer erklärt.\n",
    "\n",
    "Die Optimierung der Querschnittsflächen im Hinblick auf minimales Gewicht soll mit einem evolutionären Algorithmus geschehen, wobei das Framework `deap` genutzt wird. Die Entwurfsvariablen sind die in einer Liste angeordneten Stabquerschnitte. Damit ergibt sich der Typ für die Individuen der Population. Im Abschnitt Algorithmierung wird die Konfiguration des evolutionären Algorithmus in genauer erläutert.\n",
    "\n",
    "### <font color='blue'>**Algorithmierung**</font>\n",
    "\n",
    "Wir werden das Framework `deap` für den evolutionären Algorithmus nutzen. Dieses Paket bringt bereits vorgefertigte evolutionäre Algorithmen und Methoden bzw. Operatoren mit, bei denen wir nun eine Auswahl treffen müssen.\n",
    "\n",
    "#### <font color='blue'>**evolutionärer Algorithmus**</font>\n",
    "\n",
    "Als Startpunkt eignet sich der Standardalgorithmus `deap.algorithms.eaSimple()`. Dieser bildet alle typischen Schritte eines evolutionären Algorithmus (vgl. Theorie) ab. Er erhält folgende Parameter:\n",
    "\n",
    "| Parameter | Bedeutung |\n",
    "| --: | :-- |\n",
    "| pop | in deap erstelle Population |\n",
    "| toolbox | in deap erstelle Toolbox (mit registrierten Methoden) | \n",
    "| cxpb | Crossover-Wahrscheinlichkeit (Vorschlag: 0.5) |\n",
    "| mutpb | Mutations-Wahrscheinlichkeit (Vorschlag: 0.4) |\n",
    "| ngen | Anzahl an Generationen (Vorschlag: 75-150) |\n",
    "| stats | in deap ersteller Statistik-Container |\n",
    "| halloffame | in deap ersteller Hall-of-Fame-Container (speichert die besten Individuen) |\n",
    "| verbose | Ausgabe von Informationen zur aktuellen Generation bei `true`. |\n",
    "\n",
    "Er gibt folgende Rückgabewerte:\n",
    "\n",
    "| Parameter | Bedeutung |\n",
    "| --: | :-- |\n",
    "| pop | Population der letzten Generation |\n",
    "| log | Protokoll über die Generationen (z.B. beste Fitness) |\n",
    "\n",
    "Nun muss noch festgelegt werden, wie die Population, bzw. die Individuen aussehen und erstellt werden, wie die Fitness evaluiert wird und welche Methoden für die *crossover, mutate* und *select*-Schritte zum Einsatz kommen.\n",
    "\n",
    "#### <font color='blue'>**Individuen und Population**</font>\n",
    "\n",
    "Die Querschnittsflächen der Stäbe in m² werden von Fließkommazahlen repräsentiert. Ein Individuum sollte daher eine Liste mit einer Gleitkommazahl pro Stab sein. Die Erstellung mithilfe der `Creator`-Klasse und registrierungen in der Toolbox geschehen analog zu Beispielen, z.B. Notebook der Einheit 4 (Probalistische Methoden) mit dem Rucksackproblem. \n",
    "Es gibt zwei Unterschiede:\n",
    "* Die Fitness wird minimiert. Daher wird der Wichtungsfaktor -1 gewählt, (statt 1 im Rucksackproblem)\n",
    "* Die Gene bestehen aus Gleitkommazahlen (anstatt bool) und müssen daher mit einer anderen Funktion initialisiert werden. Die Methode `random.uniform(min, max)` aus dem Standardpaket `random` liefert eine zufällige Gleitkommazahl zwischen den angegebenen Grenzen. Als Intervallgrenzen sollten die groben zu erwartenden Größenordnungen der Stabquerschnitte verwendet werden, um die Konvergenz zu beschleunigen. (Vorschlag: 1e-6 - 0.05)\n",
    "Mit der Populationsgröße kann experimentiert werden, um den Kompromiss zwischen schneller Berechnung einer Generation und Anzahl von Generationen (sowie Größe des \"Genpools\") zu finden. Ein guter Startwert für diese Problemstellung mit 11 Freiheitsgeraden ist eine Populationsgröße von 150.\n",
    "\n",
    "#### <font color='blue'>**Methoden für *mate, mutate* und *selection***</font>\n",
    "\n",
    "Für **mate** können wir z.B. die Methode deap.`deap.tools.cxUniform` verwenden, die Nachkommen erstellt, indem bei jedem Gen auf Basis einer Wahrscheinlichkeit (`indpb`, Vorschlag 0.5) der Wert eines der beiden Eltern übernommen wird.\n",
    "\n",
    "Bei **mutate** benötigen wir eine Methode, die Fließkommazahlen in die Population verändern kann (bei *mate* mit *cxUniform* werden sie nur ausgetauscht). Hierfür bietet sich `deap.tools.mutGaussian` an. Diese addiert einen Zufallswert, der mit einer Gaußverteilung bestimmt wird, auf das Gen. Die Parameter der Gaußverteilung (`mu`,`sigma`) bestimmen den Mittelwert und die Standardabweichung, und damit den Bereich, aus dem die Zufallszahlen kommen. Wenn die Streuung zu groß gewählt wird, hat es der Algorithmus schwer, feine Änderungen abzubilden. Ist sie zu klein, finden zu langsam Veränderungen statt. Hier muss ggf. Fallabhängig etwas experimentiert werden (Empfehlung: mu = 0, sigma = 0.0005). Die Wahrscheinlichkeit `indpb` (Vorschlag 0.2) bestimmt die Wahrscheinlichkeit, mit der ein einzelnes Gen verändert wird.\n",
    "\n",
    "Als **selection** verwenden wir wie beim Rucksackproblem `deap.tools.selTournament`, z.B. mit einer `tournsize`von 4.\n",
    "\n",
    "Diese Methoden werden in der Toolbox registriert.\n",
    "\n",
    "#### <font color='blue'>**Evaluierungsfunktion**</font>\n",
    "\n",
    "Die Funktion für `evaluate` müssen wir selbst definieren, bevor wir sie in der Toolbox registrieren können. Als **Fitness** dient das Gewicht. Wir nennen die Funktion daher `evaluateWeight`. Das Gewicht können wir uns von dem `FETool` berechnen. Dazu benötigt die Funktion `evaluateWeight` neben dem Individuum (den Querschnittsflächen) die übrigen Informationen über das Fachwerk als Parameter. Hier bietet es sich an, die Informationen über das Fachwerk (abgesehen von den zu verändernden Querschnittsflächen) in einer selbst definierten Klasse `TrussData` zu bündeln. So kann der Funktion das gesamte Fachwerk über ein zuvor definiertes Objekt übergeben werden. (Die Alternative wäre, dass jede relevante Größe des Fachwerks, also Knoten, Verbindungen, Steifigkeiten etc. der Funktion separat übergeben werden müssen). \n",
    "\n",
    "Wenn die Funktion nur das Gewicht bestimmt, würden die Stäbe bei der Optimierung schnell negative Flächen bekommen, da dies das Gewicht minimiert. Es gilt aber die **Restriktion**, dass die maximal zulässigen Spannungen nicht überschritten werden dürfen. Es muss daher in der Funktion berücksichtigt werden, ob ein Fachwerk so definiert ist, dass die Spannungen eingehalten werden. Die Spannungen können mit dem `FETool` berechnet werden. Wenn zulässige Spannungen überschritten werden, muss die Fitness künstlich herabgesetzt, bzw. das Gewicht erhöht, werden (Penalty). Dabei sollte die Größe der Strafgewichte abhängig von der Stärke der Überschreitung sein, damit der Algorithmus *lernt, was besonders schlecht ist*. Hier muss gegebenfalls auch etwas experimentiert werden, um gute Ergebnisse zu erzielen. Eine Empfehlung ist, für jeden Stab, bei dem die Spannung überschritten wird **100kg + (Faktor der Überschreitung)\\*10000kg** dem Gesamtgewicht hinzuzufügen.\n",
    "\n",
    "Je nach Lastfall können Nullstäbe auftreten. Deshalb sollte ebenfalls eine Strafe eingebaut werden, falls die Stabquerschnitte negativ werden sollten. Eine Empfehlung ist: Für jeden negativen Stab **1000kg + (Betrag des Querschnitts)\\*100000kg**.\n",
    "\n",
    "Nach Implementierung dieser Funktion kann sie ebenfalls in der Toolbox registriert werden.\n",
    "\n",
    "####  <font color='blue'>**Ergebnisse der Berechnung**</font>\n",
    "\n",
    "Wir verwenden die **Hall-Of-Fame**, um das beste Fachwerk zu archivieren. Zusätzlich verwenden wir ein `Stats`-Objekt, um den Konvergenzverlauf der Generationen auszuwerten (vgl. Rucksackbeispiel). Nach Ablauf der Optimierung sollen die Stabquerschnitte und ermittelten Spannungen des besten Fachwerks ausgegeben und grafisch dargestellt werden: die Funktionen aus dem `FETool` stehen bereit. Zudem soll der Verlauf der minimalen Gewichte über die Iterationen dargestellt werden."
   ]
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   "source": [
    "### <font color='blue'>**Umsetzung**</font>\n",
    "\n",
    "Import der nötigen Module. Bei random legen wir einen Seed fest, damit wir zum Testen der sogennanten Hyperparameter (Populationsgröße, Mutationswahrscheinlichkeit etc.) immer mit den gleichen Ausgangsgrößen arbeiten. Für den praktischen Einsatz muss dies nicht zwingend gemacht werden."
   ]
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   "id": "acb7c105",
   "metadata": {
    "tags": []
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "import random\n",
    "import numpy\n",
    "import time\n",
    "\n",
    "from deap import base\n",
    "from deap import creator\n",
    "from deap import tools\n",
    "from deap import algorithms\n",
    "\n",
    "import FETool"
   ]
  },
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   "id": "c13d1e3f",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Klasse zum Bündeln/Kapseln der konstanten Daten des Fachwerks. Es gehen ein: die Knotenkoordinaten, die Satbverbindungen, der Elastizitätsmodul, die Dichte und die maximal zulässige Spannung (Sicherheitsfaktor bereits berücksichtigt) für die Stäbe, sowie die Lagerbedingungen und Kräfte. "
   ]
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   "id": "f0efdbac",
   "metadata": {
    "tags": []
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "class TrussData:\n",
    "    def __init__(self,Coord, ElmCon, E, rho, BC, F, sigma_max):\n",
    "        self.Coord = Coord\n",
    "        self.ElmCon = ElmCon\n",
    "        self.E = E\n",
    "        self.rho = rho\n",
    "        self.BC = BC\n",
    "        self.F = F\n",
    "        self.sigma_max = sigma_max"
   ]
  },
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   "id": "117b7a1d",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Das Fachwerk aus der Problemstellung wird definiert und in einem Objekt der zuvor erstellten Klasse gespeichert. Als Einheiten werden konsequent die SI-Basiseinheiten genutzt. Die Querschnittsflächen werden erst später als Population für den evolutionären Algorithmus erstellt."
   ]
  },
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   "id": "129b9abf",
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    "tags": []
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   "source": [
    "Coord  = [(0,0),(2,0),(6,0),(10,0),(0,2),(4,2),(8,2)] \n",
    "ElmCon = [(1,2),(2,3),(3,4),(1,5),(5,2),(2,6),(6,3),(3,7),(7,4),(5,6),(6,7)] \n",
    "\n",
    "E   = [210e9 for x in range(len(ElmCon))]  # E-Modul von Stahl in Pa. Fuer alle Elemente\n",
    "rho = [ 7850 for x in range(len(ElmCon))]  # Dichte von Stahl in Pa. Fuer alle Elemente\n",
    "BC  = [[1,1,0],[1,2,0],[5,1,0]]            # Fest-Los-Lagerung\n",
    "F   = [[4,0,-1000000]]                     # Lastfall\n",
    "\n",
    "sigma_max = [1.8e8 for x in range(len(ElmCon))] # maximal zulässige Spannung von E360 mit S = 2 in Pa (180 MPa). Fuer alle Elemente\n",
    "\n",
    "fachwerk = TrussData(Coord, ElmCon, E, rho, BC, F, sigma_max)"
   ]
  },
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   "id": "c92ce955",
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   "source": [
    "Definition der Funktion `evaluateWeight`."
   ]
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   "execution_count": 11,
   "id": "b3bdd7de",
   "metadata": {
    "tags": []
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "def evaluateWeight(individual, td):\n",
    "    \n",
    "    # individual bezieht sich auf die Flaechen, td steht fuer truss data und beinhaltet die Informationen des Fachwerks\n",
    "    weight = FETool.TotalWeight(td.Coord, td.ElmCon, td.rho, individual)\n",
    "    \n",
    "    # Ermittlung der Spannungen\n",
    "    U, sigma, df = FETool.Run(td.Coord, td.ElmCon, individual, td.E, td.BC, td.F)\n",
    "    \n",
    "    # Strafmassen (Penalty) fuer Ueberschreiten der maximal zulaessigen Spannung oder negativer Flaechen. \n",
    "    for elem_stress, max_stress in zip(sigma, td.sigma_max):\n",
    "        if abs(elem_stress) > max_stress:\n",
    "            weight += 100 + ( abs(elem_stress) / max_stress )*10000\n",
    "    for cross_section in individual:\n",
    "        if cross_section < 0:\n",
    "            weight += 1000 + ( 100000 * abs(cross_section) )\n",
    "    return weight,\n",
    "    "
   ]
  },
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   "id": "2211898b",
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   "source": [
    "Setup der Toolbox von deap:"
   ]
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   "execution_count": 27,
   "id": "4000bf83",
   "metadata": {
    "tags": []
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "creator.create( \"FitnessMin\", base.Fitness, weights=(-1.0,) )\n",
    "creator.create( \"Individual\", list, fitness=creator.FitnessMin )\n",
    "\n",
    "toolbox = base.Toolbox()\n",
    "toolbox.register( \"attr_init\", random.uniform, 1e-6, 0.05) # Erstellen der Definition der Gene (zufaellige float zwischen Grenzwerten), \n",
    "\n",
    "toolbox.register( \"individual\", tools.initRepeat, creator.Individual, \n",
    "                  toolbox.attr_init, len(fachwerk.ElmCon) )                  # Individuen (ein Gen des erstellten Typs pro Stab)\n",
    "toolbox.register( \"population\", tools.initRepeat, list, toolbox.individual ) # Population (Liste von Individuen)\n",
    "\n",
    "toolbox.register(\"evaluate\", evaluateWeight, td = fachwerk)\n",
    "toolbox.register(\"mate\",     tools.cxUniform, indpb=0.5)\n",
    "toolbox.register(\"mutate\",   tools.mutGaussian, mu=0.0, sigma=0.0005, indpb=0.2)\n",
    "toolbox.register(\"select\",   tools.selTournament, tournsize=4)"
   ]
  },
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   "id": "209b39d5",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Definition der Population, Hall-Of-Fame, und Statistik."
   ]
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   "execution_count": 45,
   "id": "2d6fa221",
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    "tags": []
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   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "gen\tnevals\tavg   \tstd        \tmin    \tmax        \n",
      "0  \t150   \t294147\t1.39529e+06\t7162.25\t1.65964e+07\n",
      "1  \t114   \t33008.5\t23984.4    \t6880.18\t141780     \n",
      "2  \t104   \t12525.1\t7902.59    \t5848.96\t41592.2    \n",
      "3  \t95    \t7922.15\t2479.46    \t5848.96\t20824      \n",
      "4  \t93    \t6883.1 \t943.373    \t5550.12\t16740.5    \n",
      "5  \t106   \t6748.1 \t2075.6     \t4610.86\t16886.6    \n",
      "6  \t102   \t6615.82\t2894.74    \t4357.86\t17931.9    \n",
      "7  \t111   \t6273.49\t3279.18    \t4360.89\t26783.2    \n",
      "8  \t100   \t5801.85\t3614.56    \t4249.12\t34995.5    \n",
      "9  \t103   \t5713.65\t3666.29    \t4124.04\t25173.3    \n",
      "10 \t106   \t5761.38\t3899.73    \t4061.2 \t24896      \n",
      "11 \t118   \t4846.25\t3158.62    \t4040.05\t26335.1    \n",
      "12 \t113   \t5320.35\t3255.44    \t3974.07\t16066.7    \n",
      "13 \t102   \t5083.04\t3227.47    \t3954.41\t24599.6    \n",
      "14 \t104   \t5183.99\t3251.35    \t3933.41\t15475      \n",
      "15 \t105   \t5111.35\t3389.89    \t3929.19\t24908.2    \n",
      "16 \t89    \t5209.29\t3543.84    \t3892.26\t24517.8    \n",
      "17 \t105   \t5058.82\t3421.24    \t3892.26\t24378.7    \n",
      "18 \t106   \t4905.6 \t3043.39    \t3853.77\t14784.9    \n",
      "19 \t105   \t4608.33\t2607.36    \t3853.77\t15102.1    \n",
      "20 \t117   \t5091.39\t3586.56    \t3837.1 \t25608.5    \n",
      "21 \t108   \t5271.83\t3932.65    \t3819.3 \t24512.9    \n",
      "22 \t105   \t5392.25\t4577.19    \t3805.12\t24988.7    \n",
      "23 \t105   \t5306.97\t3819.05    \t3788.12\t24260.5    \n",
      "24 \t104   \t5223.81\t4115.48    \t3766.92\t24438.6    \n",
      "25 \t95    \t5131.1 \t4253.12    \t3753.63\t35780.2    \n",
      "26 \t101   \t5533.06\t4432.66    \t3733.44\t25403.5    \n",
      "27 \t93    \t5088.22\t3452.96    \t3695.43\t15754.1    \n",
      "28 \t98    \t4874.85\t3458.44    \t3694.7 \t24779.2    \n",
      "29 \t112   \t4781.67\t3781.1     \t3681.46\t26299.6    \n",
      "30 \t107   \t5740.63\t5376.65    \t3644.11\t36041.1    \n",
      "31 \t104   \t5082.23\t3536.56    \t3613.42\t15089.3    \n",
      "32 \t116   \t5286.03\t4332.73    \t3568.47\t25829.3    \n",
      "33 \t116   \t5936.63\t4802.75    \t3552.68\t24942.7    \n",
      "34 \t112   \t4799.03\t3905.03    \t3534.5 \t24443.6    \n",
      "35 \t94    \t5479.61\t4711.33    \t3534.5 \t25200.5    \n",
      "36 \t114   \t4949.38\t4265.25    \t3506.22\t24754.4    \n",
      "37 \t97    \t5176.14\t4367.83    \t3483.27\t25008.8    \n",
      "38 \t101   \t4986.6 \t4491.93    \t3473.13\t24495.7    \n",
      "39 \t123   \t5602.39\t4979.48    \t3457.59\t25351.1    \n",
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      "42 \t92    \t5012.92\t4471.53    \t3394.86\t25339      \n",
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      "54 \t110   \t5720.19\t6341.2     \t3277.26\t44266.1    \n",
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      "72 \t97    \t8147.03\t8423.71    \t3171.98\t44809.1    \n",
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      "74 \t106   \t7424.33\t7981.71    \t3167.83\t44044.6    \n",
      "75 \t100   \t6436.7 \t7135.9     \t3167.06\t45516.9    \n",
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      "78 \t87    \t6434.21\t7532.87    \t3163.96\t45057.7    \n",
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      "90 \t109   \t7170.96\t7607.45    \t3147.54\t36005.4    \n",
      "91 \t103   \t6955.09\t7477.78    \t3147.18\t35395.4    \n",
      "92 \t111   \t7840.81\t8387.53    \t3147.18\t35713      \n",
      "93 \t118   \t8115.97\t8763.4     \t3146.51\t46485.7    \n",
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      "95 \t89    \t7884.97\t8971.77    \t3146.36\t36073.1    \n",
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      "97 \t93    \t6577.9 \t7794.62    \t3145.93\t55323.5    \n",
      "98 \t118   \t7769.18\t8837.05    \t3144.9 \t45358.1    \n",
      "99 \t112   \t8900.75\t9647.34    \t3144.74\t46510.1    \n",
      "100\t104   \t8336.82\t9409.49    \t3144.74\t44732.2    \n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "pop = toolbox.population( n=150 )\n",
    "hof = tools.HallOfFame( 10 )\n",
    "\n",
    "stats = tools.Statistics(lambda ind: ind.fitness.values)\n",
    "stats.register( \"avg\", numpy.mean )\n",
    "stats.register( \"std\", numpy.std )\n",
    "stats.register( \"min\", numpy.min )\n",
    "stats.register( \"max\", numpy.max )\n",
    "\n",
    "random.seed(42)\n",
    "start_time = time.time()\n",
    "pop, log = algorithms.eaSimple(pop, toolbox, \n",
    "                               cxpb=0.5, mutpb=0.4, ngen=100, \n",
    "                               stats=stats, halloffame=hof, verbose=True)\n",
    "end_time = time.time() - start_time"
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   "source": [
    "Ausgabe der Informationen über Laufzeit, Querschnitte und Spannungen. Da die Spannungen nicht mehr vorliegen, müssen sie noch einmal mit den Querschnitten des besten Fachwerks berechnet werden. "
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      "elapsed time: 56.202693700790405\n",
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    "print(\"elapsed time: \" + str(end_time))\n",
    "print(\"Querschnitte der Stäbe:\")\n",
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    "U, sigma, df = FETool.Run(fachwerk.Coord, fachwerk.ElmCon, hof[0], fachwerk.E, fachwerk.BC, fachwerk.F)\n",
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    "Darstellung des besten Fachwerks mit Querschnitten."
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    "Konvergenzverlauf der niedrigsten Gewichte und Ausgabe des niedrigsten Gewichts. Zum Vergleich: Für das oben gegebene Fachwerk wurde mithilfe einer hier nicht näher behandelten Methode ein Minimalwert von **3140 kg** ermittelt, an diesen sollte sich der evolutionäre Algorithmus annähern."
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       "<Figure size 640x480 with 1 Axes>"
      ]
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     "output_type": "display_data"
    }
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   "source": [
    "print(\"Bestes Gewicht: \" + str(hof[0].fitness))\n",
    "\n",
    "# Konvergenzplot\n",
    "import matplotlib.pyplot as plt\n",
    "iteration = list(range(len(log.select(\"min\"))))\n",
    "plt.plot(iteration, log.select(\"min\"))\n",
    "plt.grid()\n",
    "plt.show()"
   ]
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   "source": [
    "Experimentiere gerne mit den Parametern herum und analysiere, ob es die Lösung und Lösungsgeschwindigkeit verbessert, oder verschlechtert. Starte am besten für jeden Versuch das gesamte Notebook neu, damit die Tools der Toolbox immer sauber registriert werden können.\n",
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    "\n",
    "Selbstverständlich können auch beliebige andere Fachwerkdefinitionen und Lastfälle analysiert werden."
   ]
  },
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   "source": [
    "### <font color='blue'>**Anregung zum selbst Programmieren:**</font>\n",
    "Wir haben das Fachwerk bislang nur für einen Lastfall ausgelegt. Was muss man ändern, um mehrere Lastfälle berücksichtigen zu können? Nimm diese Änderung vor. Als 2. Lastfall soll an Knoten 2 eine Kräft von 2 MN wirken, die nun aber nicht senkrecht nach unten wirkt, sondern um 30° in x-Richtung gedreht ist. Das Fachwerk soll beide Lastfälle erfüllen. Das Programm soll so implementiert werden, dass eine beliebige Anzahl von Lastfällen in der Fachwerk-Definition aufgenommen werden kann."
   ]
  }
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   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
   "language": "python",
   "name": "python3"
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