From acd11ab361a98eb6eb598b4c675d8be222c19871 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Malte Woidt <m.woidt@tu-braunschweig.de>
Date: Tue, 17 Jan 2023 23:00:46 +0100
Subject: [PATCH] Uebung09

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+    "# <font color='blue'>**Einleitendes Thema**</font>\n",
+    "Python ist eine Programmiersprache, die unter anderem in den Ingenieurswissenschaften weite Verbreitung gefunden hat. Python besitzt einen eingebauten Packetmanager, mit dem ZusatzfunktionalitÃ¤t schnell und einfach installiert werden kann. Z.B. Funktionen zum Auslesen oder Erstellen von Excel-Datein, Anbindun an verschiedene Datenbanksysteme oder Programmbibliotheken zur grafischen Ausgabe. Zum einen kÃ¶nnen in Python klassische Anwendungen programmiert werden, Python bietet allerdings auch einen interaktiven Modus. Dieser eignet sich sehr gut fÃ¼r Datenanalyse oder das Erstellen von Diagrammen aus verschiedenen Datenquellen.\n",
+    "Python besitzt eine Syntax, die vergleichsweise gut von Menschen lesbar ist und eine strukturierte Darstellung des Quelltextes erzwingen soll. So ist in Python z.B. eine Zeile ein zusammenhÃ¤ngender Ausdruck der mit der Zeile endet, sodass nicht mehrere Programmzeilen in eine Textzeile geschreiben werden kÃ¶nnen. ZusammenhÃ¤ngende Zeilen bzw. Code-BlÃ¶cke werden durch EinrÃ¼ckung der Zeilen mit Leerzeichen definiert.\n",
+    "Python selbst ist ursprÃ¼nglich eine Scriptsprache, d.h. das Programm wird als Quelltext verteilt und der Benutzer des Programms benÃ¶tigt einen sogenannten Python-Interpreter, um es auf seinem Computer laufen zu lassen. Das fÃ¼hrt dazu, dass Python-Programme relativ unabhÃ¤ngig vom verwendeten Betriebssystem oder der verwendeten Computerarchitektur funktionieren, so lange ein Python-Interpreter fÃ¼r das Zielsystem existiert. Python selbst bietet viel FunktionalitÃ¤t um Programme zu schreiben, die unanhÃ¤ngig des verwendeten Betriebssystems funktioniern. Ob diese benutzt werden liegt allerdings auch beim Programmierer.\n",
+    "Mit Python lassen sich auch Programmteile steuern, die in anderen Programmiersprachen geschrieben wurden. Da Python-Programme selbst relativ langsam sind, ist diese MÃ¶glichkeit fÃ¼r eine Verwendung im wissenschaftlichen Rahmen sehr wichtig, da oft groÃŸe Datenmengen bearbeitet werden."
+   ]
+  },
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+    "# <font color='blue'>**Ãœbersicht - Python Grundlagen**</font>\n",
+    "Das folgende Notebook beschreibt einige Grundlagen der Programmiersprache Python, die fÃ¼r die erste Ãœbung benÃ¶tigt werden. Es ist eine Art mini-Referenz von den bereits verwendeten Teilen der Programmiersprache. Im laufe der ersten paar Ãœbungen werden wir die einzelnen Abschnitte des Dokuments noch etwas erweitern, sodass es zum Schluss eine Referenz der strukturierten Programmierung in Python darstellt, die alle in den Ãœbungen enthaltenen Aspekte der Programmiersprache enthÃ¤lt. Unter den einzelnen Abschnitten findest du einige Dinge etwas detaillierter beschrieben, als in den Ãœbungen besprochen. Insgesammt sind allerdings alle Themen kurz gehalten. Das Dokument soll nicht als Eratz zur Ãœbung dienen, sondern als Nachschlagewerk fÃ¼r die Bearbeitung der Aufgaben."
+   ]
+  },
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+   },
+   "source": [
+    "### <font color='blue'>*Lernziele des Notebooks*</font>\n",
+    "Das Notebook ist in mehrere thematische Abschnitte gegliedert.\n",
+    "\n",
+    "* [Syntax](#Syntax)\n",
+    "* [Literale](#Literale)\n",
+    "* [Variablen](#Variablen)\n",
+    "* [Wichtige Funktionen](#Funktionen)\n",
+    "* [Operatoren](#Operatoren)"
+   ]
+  },
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+    "# <font color='blue'> **Syntax** </font> <a name=\"Syntax\"> </a>\n",
+    "## <font color='blue'>*Kommentare*</font>\n",
+    "Es ist mÃ¶glich, den Quelltext direkt zu kommentieren. Kommentare dienen nur der Nachvollziebarkeit des Quelltextes und werden vom Python-Interpreter ignoriert.\n",
+    "Es gibt es zwei MÃ¶glichkeiten Kommentare zu schreiben, die beide in der nÃ¤chsten Code-Zelle dargestellt sind. Mit einem #-Zeichen, wird der Rest der Zeile zum Kommentar. Der Kommentar endet also mit dem nÃ¤chsten Zeilenumbruch. Um mehrzeilige Kommentare zu schreiben, kann ein dreifaches AnfÃ¼hrungszeichen am Anfang einer Zeile verwendet werden. Der Kommentar endet durch drei weitere AnfÃ¼hrungszeichen. Ein mehrzeiliger Kommentar muss innerhalb der selben Code-Zelle beendet werden, in der er beginnt, ansonsten wird ein Fehler ausgelÃ¶st\n",
+    "\n"
+   ]
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+     "text": [
+      "5\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "x=3+2 #das hier ist ein Kommentar.\n",
+    "#eine ganze Zeile als Kommentar\n",
+    "\"\"\"\n",
+    "das ist ein \n",
+    "mehrzeiliger Kommentar. Er kann sich Ã¼ber beliebig\n",
+    "viele Zeilen der Zelle erstrecken\n",
+    "\"\"\"\n",
+    "print(x)"
+   ]
+  },
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+   "source": [
+    "## <font color='blue'>*Reihenfolge der Auswertungen in einer Zeile*\n",
+    "Wenn mehrere Operatoren in einer Zeile stehen, bzw. mehrere Funktionen ausgewertet werden mÃ¼ssen, kann die Reihenfolge in der das passiert wichtig werden. Operatoren folgen den Punkt vor Strich Rechenregeln. Trotzdem kann die Reihenfolge manchmal sehr schwer nachvollziebar sein. Es ist daher mÃ¶glich, wie in mathematischer Schreibweise, runde Klammern einzusetzen, um die Auswertereihenfolge festzulegen"
+   ]
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+     "text": [
+      "39\n",
+      "63\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "x=4+5*7\n",
+    "y=(4+5)*7\n",
+    "print (x)\n",
+    "print (y)"
+   ]
+  },
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+   "source": [
+    "## <font color='blue'>*ZeilenumbrÃ¼che*\n",
+    "\n",
+    "Ein \"Ausdruck\" in Python ist normalerweise eine Zeile im Quelltext"
+   ]
+  },
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+      "14\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "x=3+4+7\n",
+    "print (x)"
+   ]
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+   "source": [
+    "Sollte es passieren, dass eine Zeile zu lang wird und aus optischen GrÃ¼nden auf mehrere Zeilen aufeteilt werden soll, kann mit einem \\ am Ende der Zeile der folgende Zeilenumbruch ignoriert werden, er existiert fÃ¼r den Python-Interpreter nicht. Das \\\\-Zeichen muss am Ende der Zeile stehen."
+   ]
+  },
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+     "text": [
+      "14\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "x=3+4+\\\n",
+    "   7 #Die nÃ¤chste Zeile darf eingerÃ¼ckt werden, muss aber nicht. Es sieht allerdings besser aus\n",
+    "print (x)"
+   ]
+  },
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+   "source": [
+    "# <font color='blue'>**Literale**</font> <a name=\"Literale\"> </a>\n",
+    "\n",
+    "Literale sind feststehende Werte, die in den Programmcode eingebaut werden kÃ¶nnen. Z.B. Zahlen oder Texte. Sie kÃ¶nnen verwendet werden, um Variablen einen initialen Wert zu geben oder Textabschnitte zu definieren, die im Rahmen der Benutzerinteraktion vom Programm ausgegeben werden. Mit Literalen kÃ¶nnen diese Werte in einer fÃ¼r den Programmierer praktischen Formatierung eingegeben werden. Gerade bei numerischen Literalen gibt es daher verschiedene MÃ¶glichkeiten eine Zahl zu schreiben, die in unterschiedlichen Szenarien sinnvoll werden kÃ¶nnen. Literale, bzw. die Werte die sie beschreiben, haben, wie auch Variablen, einen Typ. Literale sind unverÃ¤nderbare (bzw. konstante) Werte. Das heiÃŸt, sie kÃ¶nnen niemals auf der linken Seite einer Zuweisung stehen.\n",
+    "Einige Beispiele:"
+   ]
+  },
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+   "outputs": [
+    {
+     "ename": "SyntaxError",
+     "evalue": "cannot assign to literal (1432500936.py, line 9)",
+     "output_type": "error",
+     "traceback": [
+      "\u001b[1;36m  Cell \u001b[1;32mIn [138], line 9\u001b[1;36m\u001b[0m\n\u001b[1;33m    3=x ##Funktioniert nicht. Ein Literal darf nicht auf der linken Seite einer Zuweisung stehen\u001b[0m\n\u001b[1;37m    ^\u001b[0m\n\u001b[1;31mSyntaxError\u001b[0m\u001b[1;31m:\u001b[0m cannot assign to literal\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "3 #Eine ganze Zahl\n",
+    "7e9 #Eine FlieÃŸkommazahÃ¶\n",
+    "5.234 #Eine FlieÃŸkommazahl\n",
+    "0b1001010 #Eine ganze Zahl in binÃ¤rer Schreibweise\n",
+    "0o2347 #Eine ganze Zahl in oktaler Schreibweise\n",
+    "0xAF #Eine ganze Zahl in hexadezimaler Schreibweise\n",
+    "\"Ich bin eine Zeichenkette\"\n",
+    "(2+4j) #Eine komplexe Zahl\n",
+    "3=x ##Funktioniert nicht. Ein Literal darf nicht auf der linken Seite einer Zuweisung stehen"
+   ]
+  },
+  {
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+   "source": [
+    "## <font color='blue'>*Numerische Literale*</font>\n",
+    "\n",
+    "Es gibt drei Arten von numerischen Literalen in Python:\n",
+    "\n",
+    "* FlieÃŸkommawerte\n",
+    "* ganzzahlige Werte\n",
+    "* imaginÃ¤re Werte\n",
+    "\n",
+    "\n",
+    "Bei allen numerischen Literalen ist ein fÃ¼hrendes \"-\"-Zeichen fÃ¼r eine negative Zahl zulÃ¤ssig. Bei genauer Betrachtung ist das Minus jedoch nicht Teil des Literals, siehe Abschnitt Operatoren.\n",
+    "\n",
+    "### *FlieÃŸkommawerte*\n",
+    "\n",
+    "Fliekommawerte beschreiben eine Zahl mit Nachkommastellen. FlieÃŸkommazahlen besitzen in Python den Typ 'float'. Die Nachkommastellen dÃ¼rfen auch alle 0 sein, womit der Wert technisch gesehen eine Ganzzahl ist. Die Unterscheidung bei Computern liegt allerdings nicht nur im Vorhandensein von Nachkommastellen, sondern auch in der Arithmetik und dem mÃ¶glichen Wertebereich, der sich von Ganzzahlen unterscheidet. Wie groÃŸ oder klein eine FlieÃŸkommazahl ist, hÃ¤ngt auch vom Verwendeten Prozessor ab. Normalerweise liegt der gÃ¼ltige Bereich zwischen plus und minus 10 hoch 308.\n",
+    "\n",
+    "FlieÃŸkommazahlen werden in Python als Kommazalen in englischer Notation (mit \".\" als Komma) eingegeben."
+   ]
+  },
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+   "source": [
+    "x=3.5434 #ein Beispiel fÃ¼r eine Kommazahl\n",
+    "y=-2.4 #eine negative Zahl kann mit einem fÃ¼hrenden Minus angegeben werden"
+   ]
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+   "source": [
+    "#### Einige praktische Hinweise\n",
+    "Falls die Zahl mit einer 0 vor dem Komma beginnt, kann die 0 optional weggelassen werden. Gleiches gilt, fÃ¼r die 0 nach dem Komma, falls alle Nachkommastellen 0 sind. AuÃŸerdem kann am Ende der Zahl optional ein \"e\" gefolgt von einer ganzen Zahl angegeben werden. Die Zahl wird als Exponent zur Basis 10 interpretiert (ein e3 nimmt die eingegebene Zahl mal 10 hoch 3. Das \"e\" kann dabei groÃŸ oder klein geschrieben werden).\n",
+    "\n",
+    "Es ist zulÃ¤ssig Unterstriche \"_\" an beliebigen Stellen der Zahl zu verwenden, um Ziffern zu gruppieren. Die Unterstriche werden bei der Interpretation ignoriert. Sie dienen nur dem Programmierer, um z.B. Zahlen mit vielen aufeinanderfolgenden identischen Ziffern besser lesbar zu machen"
+   ]
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+     "text": [
+      "0.43\n",
+      "32000.0\n",
+      "0.00032\n",
+      "1.000000001\n",
+      "3.0\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "x=.43 #fÃ¼hrende Nullen kÃ¶nnen optional weggelassen werden ist identisch mit x=0.43\n",
+    "y=3.2e4 #Hat als Ergebnis 3.2*10**4\n",
+    "z=3.2E-4 #Das funktioniert auch mit negativen Zahlen. Das e darf wahlweise groÃŸ oder klein geschrieben werden\n",
+    "a=1.000_000_001 #Unterstriche kÃ¶nnen zur besseren Darstellung fÃ¼r den Programmierer verwendet werden, um Ziffern zu gruppieren. Sie werden ignoriert\n",
+    "b=3. #eine 0 nach dem Komma kann weggelassen werden\n",
+    "print(x)\n",
+    "print(y)\n",
+    "print(z)\n",
+    "print(a)\n",
+    "print(b)"
+   ]
+  },
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+   "id": "edca5fcc-10a6-475c-afa4-6fa165b5bf9c",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Eine Besonderheit der Notation mit dem \"E\" als Zehnerpotenz ist, dass der resultierende Wert immer als FlieÃŸkommazahl interpretiert wird, auch wenn er keine Nachkommastellen besitzt"
+   ]
+  },
+  {
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+    {
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+     "text": [
+      "<class 'float'>\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "x=3e5#Wird als FlieÃŸkommazahl interpretiert\n",
+    "print(type(x))# gibt den Typ von x aus"
+   ]
+  },
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+   "source": [
+    "### *Ganze Zahlen*"
+   ]
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+  {
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+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "FÃ¼r die Eingabe von ganzen Zahlen gibt es mehrere MÃ¶glichkeiten. Der Wertebereich der ganzen Zahlen in Python ist unbegrenzt, ihr Typ heiÃŸt 'int' (Kurzform von Integer). Die einfachste MÃ¶glichkeit ist, die Zahl einfach im Dezimalsystem einzugeben. Auch hier dÃ¼rfen \"_\" Zeichen zur Zahlengruppierung eingesetzt werden, die vom Python-Interpreter ignoriert werden. FÃ¼hrende Nullen, also die Zahl 15 als 015 zu schreiben, ist nicht zulÃ¤ssig!"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 14,
+   "id": "30f6e8d0-907c-4ba1-bdcd-c4969634ecd9",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "x=1032454 #Einge ganze Zahl\n",
+    "y=-223_322_023_000 #Eine negative Zahl. Zur besseren Lesbarkeit des Quelltextes in 3er Gruppen gruppiert\n",
+    "z=0 #Die Null ist in Ordnung"
+   ]
+  },
+  {
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+   "id": "8d9e9c64-acd5-499c-b4a9-d64a910ff137",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "ename": "SyntaxError",
+     "evalue": "leading zeros in decimal integer literals are not permitted; use an 0o prefix for octal integers (1519621152.py, line 1)",
+     "output_type": "error",
+     "traceback": [
+      "\u001b[1;36m  Cell \u001b[1;32mIn [15], line 1\u001b[1;36m\u001b[0m\n\u001b[1;33m    a=010\u001b[0m\n\u001b[1;37m        ^\u001b[0m\n\u001b[1;31mSyntaxError\u001b[0m\u001b[1;31m:\u001b[0m leading zeros in decimal integer literals are not permitted; use an 0o prefix for octal integers\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "a=010 #Diese Zelle lÃ¶st einen Fehler aus"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "a7cd09f0-0438-4d43-8acf-af5386ed22e2",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "#### Eingaben in anderen Zahlensystemen\n",
+    "Neben Eingaben im Dezimalsystem sind auch Zahleneingaben im binÃ¤rsystem (mit den Ziffern 0 und 1), im Octalsystem (mit den Ziffern 0...7) und im Hexadezimalsystem (mit den \"Ziffern\" 0..9 A..F) mÃ¶glich. Dazu werden vor die Zahl 0b fÃ¼r binÃ¤r, 0o fÃ¼r Octal pder 0x fÃ¼r Hexadezimal geschrieben. Alle Buchstaben dÃ¼rfen hierbei wahlweise groÃŸ oder klein geschrieben werden. Der resultierende Wert ist unabhÃ¤ngig der Eingabeform immer ein normaler Zahlenwert. Die Ausgabe von Ganzzahlen erfolgt normalerweise im Zehnersystem (was einstellbar ist). Die folgende Zelle definiert den gleichen Wert Ã¼ber unterschiedliche Literale.\n",
+    "\n",
+    "Diese MÃ¶glichkeit existiert, da Computer im allgemeinen im BinÃ¤rsystem rechnen und dadurch manche Werte in diesen Zahlensystemen aussagekrÃ¤ftiger oder praktischer dargestellt werden kÃ¶nnen."
+   ]
+  },
+  {
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+   "execution_count": 17,
+   "id": "c630976e-2a71-4332-9b2f-d8ab469bab65",
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+   "outputs": [
+    {
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+     "text": [
+      "4863\n",
+      "4863\n",
+      "4863\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "x=0x12FF #Eine Hexadezimale Zahl\n",
+    "y=0o11377 #Eine Oktalzahl\n",
+    "z=0b0001_0010_1111_1111 #eine binÃ¤re Zahl\n",
+    "print (x)\n",
+    "print (y)\n",
+    "print (z)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "4a08a900-fff9-4e47-be61-3d5d3c9be955",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "### *ImaginÃ¤re Zahlen*\n",
+    "Python kann auch mit imaginÃ¤ren Zahlen umgehen. Statt einem \"i\" wird allerdings ein \"j\" an die imaginÃ¤re Zahl angehÃ¤ngt. Der Type der komplexen Zahlen in Python heiÃŸt 'complex'. Es gibt kein spezielles Literal, um komplexe Zahlen mit realteil zu erzeugen. Diese mÃ¼ssen durch Addieren von Real- und ImaginÃ¤rteil selbst \"zusammengebaut\" werden. Damit z.B. bei komplitzierteren AusdrÃ¼cken mit Multiplikationen etc. keine Fehler passieren, ist es empfehlenswer,t eine ImaginÃ¤re Zahl mit Realteil in einer Klammer zu schreiben, wie bei der Variable z. Das ist aber kein Muss. Komplexe Zahlen sind in Python immer aus zwei FlieÃŸkommazahlen zusammengesetzt."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 24,
+   "id": "d56aec6e-c337-4d28-bc9c-f33bfc81dfca",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "x=12j#Eine komplexe Zahl\n",
+    "y=3+4j#Eine komplexe Zahl mit dem Realteil \n",
+    "z=(3+4j)#Am besten die ganze komplexe Zahl in Klammern schreiben, um Fehler zu vermeinden"
+   ]
+  },
+  {
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+   "id": "6d16809c-aa29-4e74-a5c4-70ba94c33e9f",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "## <font color='blue'>*Zeichenketten*</font>\n",
+    "Zeichenketten haben in Python den Typen \"str\". Es sind Aneinanderreihungen von lesbaren Buchstaben beliebiger LÃ¤nge. Python unterstÃ¼tzt die meisten Sonderzeichen (verwendet sogenannte Unicode-Zeichen). Es ist zu beachten, dass Eine Zeichenkette auch Ziffern enthalten kann. Auch wenn die Zeichenkette nur Ziffern enthÃ¤lt, bleibt sie eine Zeichenkette. Python unterscheidet, wie die allermeisten Programmiersprachen, Zeichenketten strikt von Zahlen. Man kann mit diesen Zeichenketten nicht rechnen (man kann sie allerdings in Zahlen umwandeln). Eine Zeichenkette wird in einfache oder doppelte AnfÃ¼hrungzeichen gesetzt. "
+   ]
+  },
+  {
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+   "id": "4af6d5fd-c62a-4a34-814e-4c6c29762e2e",
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+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "a=\"Ich bin ein Text\"\n",
+    "b='Ich bin ein Text'#beide MÃ¶glichkeiten sind gleichwertig"
+   ]
+  },
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+   "id": "104718ca-9145-46b1-8a05-d839aa0da608",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Ein Problem dabei ist, dass je nach verwendeter Schreibweise das einfache oder doppelte AnfÃ¼hrungszeichen nicht innerhalb der Zeichenkette verwendet werden kann, da die Zeichenkette damit beendet werden wÃ¼rde. Aus diesem Grund wird innerhalb von Zeichenketten das \\\\-Zeichen als sogenannter Escape-Character verwendet. Das Zeichen nach dem \\ hat eine besondere Bedeutung. Z.b. kann Ã¼ber \\\\\" Ein AnfÃ¼hrungszeichen innerhalb der Zeichenkette als Buchstabe verwendet werden. um ein \\ als Buchstaben zu erhalten muss \\\\\\\\ verwendet werden. Ãœber diesen Mechanismus werden auch weitere Zeichen dargestellt, die ansonsten nicht verwendbar wÃ¤ren. ein \\n ist zum Beispiel ein Zeilenumbruch. Es gibt neben dem \\n noch weitere sogenannte Steuerzeiche. Die nÃ¤chste Zelle soll das Verhalten verdeutlichen"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 39,
+   "id": "0a8ec550-dab3-45e6-9c22-426441d68709",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "Ein doppeltes AnfÃ¼hrungszeichen: \". \n",
+      "ein einfaches AnfÃ¼hrungszeichen kann in dieser Zeichenkette einfach geschrieben werden ' es ist allerdings auch als ' mÃ¶glich\n",
+      "Hier ist ein \" einfach. Ein einfaches AnfÃ¼hrungszeichen muss hier ein ' sein\n",
+      "Ein RÃ¼ckstrich ist nur durch \\ schreibbar\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "a=\"Ein doppeltes AnfÃ¼hrungszeichen: \\\". \\nein einfaches AnfÃ¼hrungszeichen kann in dieser Zeichenkette einfach geschrieben werden ' es ist allerdings auch als \\' mÃ¶glich\"\n",
+    "b='Hier ist ein \" einfach. Ein einfaches AnfÃ¼hrungszeichen muss hier ein \\' sein'\n",
+    "c=\"Ein RÃ¼ckstrich ist nur durch \\\\ schreibbar\"\n",
+    "print(a)\n",
+    "print(b)\n",
+    "print(c)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "08406a63-b7bf-4b99-8d7d-acc8f95b5a37",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "### Weitere MÃ¶glichkeiten\n",
+    "Es gibt in Python noch weitere MÃ¶glichkeiten rund um das Thema Zeichenkettenliterale. Wie bei den ganzen Zahlen ist allerdings nur die Schreibweise eine andere.\n",
+    "\n",
+    "Sehr nÃ¼tzlich ist der \"f-String\". Dieser wird mit ````f\"```` begonnen. Dann kÃ¶nnen AusdrÃ¼cke und Variablen in geschweiften Klammern direkt in den String gesetzt werden und mit einer Formatierungsangabe versehen werden:\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 10,
+   "id": "07f53ca4",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "Die Zahl 123.45678 mit nur 1 Nachkommastellen: 123.5, in Exponentialdarstellung mit 3 Nachkommastellen: 1.235e+02\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "zahl = 123.45678\n",
+    "a = f\"Die Zahl {zahl} mit nur 1 Nachkommastellen: {zahl:.1f}, in Exponentialdarstellung mit 3 Nachkommastellen: {zahl:.3e}\"\n",
+    "print(a)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "661532cf",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "FÃ¼r die Formatoptionen stehen sehr viele Optionen zur VerfÃ¼gung (Bei Interesse gerne entsprechende Dokumentationen ansehen). Hier werden nur die wichtigsten fÃ¼r FlieÃŸkommazahlen gezeigt, da sie sie fÃ¼r uns am nÃ¼tzlichsten sind. Mit ````.n```` werden n Nachkommastellen definiert. Dahinter kommt entweder ````f````, ````e````, ````g````, oder ````%````. Die Bedeutung ist:\n",
+    "\n",
+    "|Zeichen|Bedeutung|\n",
+    "|----|----|\n",
+    "|f| FlieÃŸkommazahl |\n",
+    "|e| Exponentialschreibweise |\n",
+    "|g| f bei kleinen, e bei groÃŸen Exp. |\n",
+    "|%| Prozentwert (z.B. 0.1 wird zu \"10%\" |"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "cff61752",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Zwei Optionen fÃ¼r Zeichenketten die in SonderfÃ¤llen praktisch sein kÃ¶nnen sind hier noch aufgefÃ¼hrt:\n",
+    "\n",
+    "Es ist mÃ¶glich Zeichenketten mit drei AnfÃ¼hrungszeichen zu beginnen und zu beenden, wie bei mehrzeiligen Kommentaren. Auch hier sind einfache und doppelte AnfÃ¼hrungszeichen mÃ¶glich. Der Effekt ist, dass die Zeichenkette ZeilenumbrÃ¼che enthalten kann. Sie ist also fÃ¼r lange Texte besser geeignet. Die ZeilenumbrÃ¼che befinden sich als Steuerzeichen in der Zeichenkette, werden also mit print auch ausgegeben\n",
+    "\n",
+    "AuÃŸerdem kann vor das erste AnfÃ¼hrungszeichen ein R oder r gesetzt werden. Dann wird das \\\\-Zeichen als normales Zeichen interpretiert. Es ist nicht mehr mÃ¶glich Steuerzeichen oder AnfÃ¼hrungszeichen Ã¼ber das \\\\ zu schreiben. Diese Version wird gerne verwendet, wenn eine Zeichenkette keine AnfÃ¼hrungszeichen aber viele RÃ¼ckstriche enthÃ¤lt (z.B. Dateinamen bei Windows-Betriebssystemen)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 141,
+   "id": "29be2463-0542-402e-916d-ce79e3d54a2b",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "Es sind auch drei AnfÃ¼hrungszeichen mÃ¶glich, damit sind bis zu 2 AnfÃ¼hrungszeichen in Reiche innerhalb der Zeichenkette normal schreibbar \"\". Sie wird durch drei AnfÃ¼hrungszeichen beendet\n",
+      "Dieser String kann Ã¼ber mehrere Zelen gehen, was bei langen Texten sehr praktisch ist\n",
+      "bei einem R oder r vor der Zeichenkette ist das \\ ein normales Zeichen. Damit sind allerdings Steuerzeichen und AnfÃ¼hrungszeichen nicht mehr schreibbar\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "a=\"\"\"Es sind auch drei AnfÃ¼hrungszeichen mÃ¶glich, damit sind bis zu 2 AnfÃ¼hrungszeichen in Reiche innerhalb der Zeichenkette normal schreibbar \"\". Sie wird durch drei AnfÃ¼hrungszeichen beendet\n",
+    "Dieser String kann Ã¼ber mehrere Zelen gehen, was bei langen Texten sehr praktisch ist\"\"\" #geht auch mit einfachen AnfÃ¼hrungszeichen. Kann sich Ã¼ber mehrere Zeilen erstrecken\n",
+    "b=R\"bei einem R oder r vor der Zeichenkette ist das \\ ein normales Zeichen. Damit sind allerdings Steuerzeichen und AnfÃ¼hrungszeichen nicht mehr schreibbar\"\n",
+    "print (a)\n",
+    "print (b)"
+   ]
+  },
+  {
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+   "id": "a7a36225-e2eb-4dae-8eee-bacc2e6b8ced",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "## <font color='blue'>Boolsche Werte</font>\n",
+    "Boolsche Werte kÃ¶nnen Wahr oder Falsch sein. Die ZugehÃ¶rigen Literale sind \"True\" und \"False\". Boolsche Werte werden immer dort verwendet, wo zwischen zwei Optionen unterschieden werden muss. Z.B sind sie das Ergebnis von Vergleichsoperatoren"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 104,
+   "id": "7b7d000c-3d5c-450e-b808-1f59b3e5538b",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "a=True\n",
+    "b=False#Literale fÃ¼r boolsche Werte"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "763734b2-222a-45a2-a4c3-dc160db9622c",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "# <font color='blue'>**Variablen**</font> <a name=\"Variablen\"> </a>\n",
+    "Variablen speichern Werte unter einem Namen, den der Programmierer frei wÃ¤hlen kann (unter Einhaltung einiger Regeln). Eine Varaible wird bei der ersten Zuweisung eines Wertes erstellt. Der Wert kann dabei ein Literal, der Wert einer anderen Variable oder auch das Ergebnis eines Funktionsaufrufs sein. Jede Variable hat einen Typ (z.B. Ganzzahl, FlieÃŸkommazahl, Zeichenkette). Sie Ã¼bernimmt den Typ vom zugewiesenen Wert. Damit besitzt eine Variable also einen Wert und einen Namen (auch als IdentitÃ¤t bezeichnet). Der Name einer Variable darf beliebig lang sein und Buchstaben, Zahlen und das Sonderzeichen \"\\_\" enthalten. Er darf nicht mit einer Zahl anfangen. AuÃŸerdem sollte er nicht mit einem \"\\_\" angangen, da der Unterstrich am Anfang einer Variablen im Kontext der objektorientierten Programmierung eine spezielle Bedeutung hat. Das ist allerdings eine Ãœbereinkunft bzw. Empfehlung und kein Muss. Nach MÃ¶glichkeit sollten Variablen gerade in komplizierteren Programmen sinnvolle Namen gegeben werden! Ohne sinnvolle Variablennamen sind selbst kurze Quelltextabschnitte teilweise extrem schwer nachzuvollziehen."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 59,
+   "id": "11133077-4508-4129-9e9a-7d187c9d11ae",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "7\n",
+      "7\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "x=7 #Erstellt eine Variable mit dem Namen x und weist ihr den Wert 7 als Ganzzahl zu\n",
+    "Variable_2=x #Erstellt eine Variable mit dem Namen Variable_2 und weist ihr den Wert von x zu (das ist in diesem Fall die 7). Auch Variable_2 ist damit eine Ganzzahl \n",
+    "print (x)#Gibt den Wert von x aus\n",
+    "print (Variable_2)#Gibt den Wert von Variable2 aus"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "379be8b7-faae-4697-b890-553fd65d9690",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Einer Variable kann jederzeit ein neuer Wert zugewiesen werden. Da Python eine sogenannte schwach-typisierende Programmiersprache ist, kann der neue Wert auch einen anderen Typ besitzen als die Variable. Sie verÃ¤ndert dann ihren Typ. Variablen sind auÃŸerdem nicht statisch. Das heiÃŸt, sie existieren erst, wenn ihnen ein Wert zugewiesen wird. Vorher ist der Variablenname nicht bekannt. AuÃŸerdem kÃ¶nnen Variablen auch wieder gelÃ¶scht werden. Sie hÃ¶ren dann auf zu existieren"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 60,
+   "id": "4a5c12c6-8c5f-4919-86e6-8279f6ce6ddb",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "Ich bin jetzt ein Text\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "x=\"Ich bin jetzt ein Text\" #x kann ein neuer Wert zugwiesen werden. Der Wert kann einen anderen Typ besitzen. x war vor der Zuweisung eine Ganzzahl, jetzt ist x eine Zeichenkette\n",
+    "print (x)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 61,
+   "id": "6c9f0d01-5909-41f7-a1a0-e54ef3ab4c8f",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "ename": "NameError",
+     "evalue": "name 'x' is not defined",
+     "output_type": "error",
+     "traceback": [
+      "\u001b[1;31m---------------------------------------------------------------------------\u001b[0m",
+      "\u001b[1;31mNameError\u001b[0m                                 Traceback (most recent call last)",
+      "Cell \u001b[1;32mIn [61], line 2\u001b[0m\n\u001b[0;32m      1\u001b[0m \u001b[38;5;28;01mdel\u001b[39;00m(x) \u001b[38;5;66;03m#LÃ¶scht die Variable x\u001b[39;00m\n\u001b[1;32m----> 2\u001b[0m \u001b[38;5;28mprint\u001b[39m (\u001b[43mx\u001b[49m)\n",
+      "\u001b[1;31mNameError\u001b[0m: name 'x' is not defined"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "del(x) #LÃ¶scht die Variable x\n",
+    "print (x) #LÃ¶st jetzt einen Fehler aus, da keine Variable mit dem Namen x bekannt ist"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "ce8fbb20-8f01-459e-b952-38e304dc5346",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "# <font color='blue'>**Wichtige Funktionen**</font> <a name=\"Funktionen\"> </a>\n",
+    "Funktionen werden auch als Methoden, Routinen oder Unterprogramme bezeichnet. Ãœber sie wird ein groÃŸer Teil der FunktionalitÃ¤ten von Python bereitgestellt.\n",
+    "Funktionen besitzen einen Namen, der den gleichen Regeln wie Variablennamen unterliegt.\n",
+    "\n",
+    "Das Prinzip der Funktionen soll an einem Beispiel erklÃ¤rt werden:\n",
+    "Die Funktion print gibt einen Wert in Textform aus. Damit sie einen Wert ausgeben kann, muss sie aufgerufen werden und benÃ¶tigt den auszugebenden Wert (z.B. ein Literal, der Wert einer Variablen, etc). Optional kÃ¶nnen Funktionen auch einen Wert als Ergebnis zurÃ¼ckliefern, was print nicht tut. Aufgerufen werden Funktionen Ã¼ber ihren Namen, gefolgt von runden Klammern. Innerhalb der runden Klammern kÃ¶nnen Parameter an die Funktion Ã¼bergeben werden. Bei mehreren Parametern sind die einzelnen Parameter durch Kommas getrennt. Falls kein Parameter Ã¼bergeben wird, bleiben die Klammer leer. Das Beispiel print wurde bereits in vielen Beispielen verwendet. Ob eine Funktion Parameter benÃ¶tigt, bzw. wie viele Parameter sie erwartet, ist allein von der Funktion abhÃ¤ngig. Es gibt auch Funktionen, die mit einer variablen Zahl an Parametern umgehen kÃ¶nnen. Die Reihenfolge der Parameter ist durch die Funktion festgelegt. Teilweise gibt es auch benannte Parameter (siehe print). Funktionen kÃ¶nnen durch den Programmierer selbst in Python geschrieben werden, aus sogenannten Paketen importiert werden oder fest zum Sprachkern von Python gehÃ¶nren (sogenannte built-in Funktionen)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 142,
+   "id": "c9b6ee6f-1c3c-4816-ac95-759f67b6233e",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "3.4\n",
+      "Hallo Welt\n",
+      "3 Hallo 4.3\n",
+      "\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "print(3.4)#Ruft die Funktion \"print\" auf. Als Parameter wird der Wert 3.4 Ã¼bergeben\n",
+    "eineVariable=\"Hallo Welt\"\n",
+    "print(eineVariable)#Statt eines Literals kann auch eine Variable verwendet werden. Die Funktion bekommt dann den Wert der Variable Ã¼bergeben\n",
+    "print(3,\"Hallo\",4.3)#print kann mit beliebig vielen Parametern aufgerufen werden, das ist nicht bei allen Funktionen so\n",
+    "print()#beliebige Anzahl heiÃŸt in diesem Fall auch kein Parameter"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "8d8feb3f-ff99-411f-b004-f6aafed61f20",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "## <font color='blue'>*print*</font>\n",
+    "\"print\" ist eine Funktion, die Werte als Text ausgeben kann. Die Funktion kann beliebig viele Parameter Ã¼bergeben bekommen. Im Fall von keinem Parameter, wird eine leere Zeile ausgegeben. Bei mehreren Parametern werden die Parameter mit einem Trennzeichen getrennt in einer Zeile ausgegeben. \"print\" kann Werte mit beliebigen Typ Ã¼bergeben bekommen. Sie werden vor der Ausgabe in eine geeignete Textform Ã¼berfÃ¼hrt. Je nach Datentyp kann das besser oder schlechter funktionieren. Zahlen und Text lassen sich jedoch sehr gut ausgeben.\n",
+    "Das Trennzeichen zwischen den Einzelwerten kann Ã¼ber einen sogenannten \"benannten Parameter\" frei gewÃ¤hlt werden und hat ein Leerzeichen als Standardwert, falls kein eigenes Trennzeichen angegeben wird. Das Trennzeichen muss auch kein einzelnes Zeichen sein, sondern kann eine beliebige Zeichenkette sein. Im Beispiel in der nÃ¤chsten Codezeile ist das Trennzeichen auf :-: gesetzt. Das ist ein Beispiel fÃ¼r die Verwendung eines benannten Parameters. In den allermeisten FÃ¤llen wird print allerdings mit nur einem Parameter verwendet. \"print\" gibt keinen Wert zurÃ¼ck"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 73,
+   "id": "763c5bfe-48f8-4cc4-9f7b-03c49cd3aea7",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "3\n",
+      "A:-:3:-:4:-:5.4\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "x=3\n",
+    "print(x)\n",
+    "print(\"A\",x,4,5.4,sep=\":-:\")"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "7115d783-39af-4953-98f6-590b4ff5d108",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "## <font color='blue'>*help*</font>\n",
+    "\"help\" ist eine Funktion, die zu einer Funktion einen Hilfetext liefert. Es ist sozusagen ein Hilfe-System, das in die Programmiersprache eingebaut ist. Programmierer kÃ¶nnen ihre Funktionen so dokumentieren, dass help automatisch den verfassten Hilfetext findet. Es ist also mÃ¶glich, dass nicht zu jeder Funktion ein Hilfetext gefunden wird. Die Funktion \"help\" gibt den Hilfetext direkt aus und wird meistens bei der interaktiven Verwendun von Python genutzt. \"help\" kann auch ohne Parameter aufgerufen werden, was ein interaktives Hilfeprogramm startet das lÃ¤uft, bis quit zum Beenden eingegeben wird. Du kannst es in diesem Notebook ausprobieren, auch wenn die Verwendung der interaktiven Hilfe in einem Jupyter-Notebook eher weniger zu empfehlen ist. Die Code-Zelle blockiert den Python-Kernel des Notebooks, bis die interaktive Hilfe beendet wurde\n",
+    "\n",
+    "Wie hilfreich die ausgegebenen Texte sind variiert sehr stark, da die Texte durch die jeweiligen Programmierer verfasst wurden"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 143,
+   "id": "9551e0bc-0884-41bb-987e-25c66bec55c8",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "Help on built-in function print in module builtins:\n",
+      "\n",
+      "print(...)\n",
+      "    print(value, ..., sep=' ', end='\\n', file=sys.stdout, flush=False)\n",
+      "    \n",
+      "    Prints the values to a stream, or to sys.stdout by default.\n",
+      "    Optional keyword arguments:\n",
+      "    file:  a file-like object (stream); defaults to the current sys.stdout.\n",
+      "    sep:   string inserted between values, default a space.\n",
+      "    end:   string appended after the last value, default a newline.\n",
+      "    flush: whether to forcibly flush the stream.\n",
+      "\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "help(print)#gibt den Hilfetext der Funktion print aus."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "580a0764-0558-496e-b34b-d5052053534c",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "## <font color='blue'>*type*</font>\n",
+    "\"type\" ist eine Funktion, mit der man den Typ von Variablen oder Werten ermittel kann. Die Verwendung von \"type\" in Programmen ist bei Python eher unÃ¼blich und wird selten benÃ¶tigt. Es kann aber eine sehr praktische Hilfe sein, um die Funktion von Python nÃ¤her zu betrachten.\n",
+    "\"type\" erwartet einen Parameter, von dem der Typ bestimmt werden soll. Die Funktion gibt den Typ nicht aus, sondern gibt ihn als Ergenis des Funktionsaufrufs zurÃ¼ck. Das Ergebnis kann dann mit \"print\" ausgegeben werden. Das Ergebnis kann auch in einer Variable gespeichert werden. Das ist ein Beispiel, wie ein Funktionsaufruf rechts des Zuweisungsoperators genutzt werden kann"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 95,
+   "id": "1f199866-0c60-447f-9184-d69c3c8b9324",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "<class 'str'>\n",
+      "<class 'int'>\n",
+      "<class 'float'>\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "print(type(\"Hallo\"))\n",
+    "x=4\n",
+    "print(type(x))\n",
+    "erg=type(2.3)\n",
+    "print(erg)"
+   ]
+  },
+  {
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+   "source": [
+    "\"type\" funktioniert auch bei Funktionen und anderen Objekten. Die Ausgabe kann aber unter UmstÃ¤nden etwas schwierig zu interpretieren sein"
+   ]
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+    {
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+     "text": [
+      "<class 'builtin_function_or_method'>\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "print(type(print))"
+   ]
+  },
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+   "source": [
+    "## <font color='blue'>Typenumwandlung</font>\n",
+    "Gelegentlich muss der Inhalt einer Variablen in einen anderen Typ konvertiert werden. Zwischen ganzen Zahlen und FlieÃŸkommazahlen passiert das automatisch. Zwischen Zeichenketten und Zahlen generell nicht. Es gibt fÃ¼r jeden dieser Datentypen ein Funktion, die so heiÃŸt wie der zugehÃ¶rige Typ, der die Umwandlung, sofern sinvoll mÃ¶glich, durchfÃ¼hrt. Der umgewandelte Wert wird als Ergebnis zurÃ¼ckgegebe\n",
+    "\n",
+    "### str\n",
+    "Mit der Funktion kÃ¶nnen Zahlen in Zeichenketten umgewandelt werden. Z.B. um sie fÃ¼r die Ausgabe in einem Text vorzubereiten"
+   ]
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+    {
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+      "Die Zahl ist:3.45\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "x=3.45\n",
+    "als_Zeichenkette=str(x)\n",
+    "print(\"Die Zahl ist:\"+als_Zeichenkette)"
+   ]
+  },
+  {
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+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "### float\n",
+    "Wandelt eine Zeichenkette oder eine ganze Zahl in eine FlieÃŸkommazahl um. Die Zeichenkette muss dafÃ¼r eine Zahl darstellen, also keine Buchstaben enthalten (genau genommen gelten die Regeln der FlieÃŸkomma-Literale hier auch)"
+   ]
+  },
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+     "text": [
+      "4.22345\n"
+     ]
+    }
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+    "eine_Zeichenkette=\"3.22345\"\n",
+    "x=float(eine_Zeichenkette)\n",
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+    "print(x)"
+   ]
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+   "source": [
+    "### int\n",
+    "Wandelt eine FlieÃŸkommazahl oder eine Zeichenkette in eine ganze Zahl um. Bei einer Zeichenkette muss der Inhalt eine ganze Zahl sein im Dezimalsystem sein (BinÃ¤r-,Oktal- oder Hexadezimalzahlen funktionieren nicht). Wenn eine FlieÃŸkommazahl umgewandelt wird, wird sie grundsÃ¤tzlich abgerundet"
+   ]
+  },
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+      "1244\n",
+      "3\n"
+     ]
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+   ],
+   "source": [
+    "zeichenkette=\"1234\"\n",
+    "x=int(zeichenkette)\n",
+    "print(x+10)\n",
+    "y=3.9\n",
+    "print(int(y))#FlieÃŸkommazahlen werden immer abgerundet"
+   ]
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+    "# <font color='blue'>**Operatoren**</font> <a name=\"Operatoren\"> </a>"
+   ]
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+   "source": [
+    "Operatoren bzw. die Operatorenschreibweise ist in Programmiersprechen Ã¼blich, um den Quelltext an die Gewohnheiten des natÃ¼rlichen Sprachgebrauchs anzupassen. Sie benÃ¶tigt im Vergleich zur Funktionsschreibweise weniger Platz Ein Beispiel ist das +-Zeichen, das einen Operator darstellt"
+   ]
+  },
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+       "7"
+      ]
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+    "4+3"
+   ]
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+   "source": [
+    "Operatoren funktionieren Ã¤hnlich wie Funktionen. Das Plus hat zwei Parameter und ein Ergebnis. Der Operator steht allerdings zwischen den Parametern. Operatoren wie das Plus heiÃŸen binÃ¤rer Operator, da sie zwei Parameter benÃ¶tigen (im Beispiel die 4 und die 3). Der Operator selbst steht zwischen den Parametern. Neben den binÃ¤ren Operatoren gibt es auch unÃ¤re Operatoren, die nur ein Parameter erwarten. Sie stehen vor ihrem Parameter. Ein Beispiel ist das - als Vorzeichen"
+   ]
+  },
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+      ]
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+   "source": [
+    "Im Gegensatz zu vielen anderen Programmiersprachen ist das Minus bei Python nicht Teil des Literals, sondern ein unÃ¤rer Operator vor dem Literal (auch wenn praktische Auswirkungen dieses Unterschieds eher nicht vorhanden sind und es eine technische Spitzfindigkeit ist).\n",
+    "\n",
+    "Es gibt verschiedene Operatoren in Python. Welche Zeichen ein Operator sind ist vordefiniert und nicht erweiterbar. Es ist allerdings in manchen FÃ¤llen mÃ¶glich zu verÃ¤ndern, was der Operator tut (im Kapitel Ã¼ber objektorientierte Programmierung beschreiben). Die fÃ¼r arithmetische Operationen genutzten Operatoren (+,-,*,etc.) werden in der Potenz vor Punkt vor Strich Reihenfolge ausgefÃ¼hrt, wenn sie in einer Zeile stehen! Das ist bei Rechnungen praktisch, in anderen FÃ¤llen evtl. nicht erwÃ¼nscht. Im Zweifelsfall Klammer setzen.\n",
+    "## <font color='blue'>*Zuweisungsoperator*</font>\n",
+    "Der Zuweisungsoperatpor ist in Python das =-Zeichen. Der Zuweisungsoperator weist den Wert, der auf seiner rechten Seite steht der Variablen auf seiner linken Seite zu. Er wird immer als letztes Ausgewertet. Das heiÃŸt, sollten auf der rechten Seite der Zuweisung mehrere Operationen stehen werden alle zu erst Ausgewertet. Der resultierende Wert wird dann der Variable auf der linken Seite zugewiesen. Sollte die Variable auf der linken Seite nicht existieren, wird sie angelegt. Literale kÃ¶nnen nicht auf der linken Seite der Zuweisung stehen. Python folgt einer \"Alles ist eine Variable\" logik. Daher sind technisch betrachtet auch alle Funktionen Variablen. Es sollte vermieden werden wichtige Funktionen wie print o.Ã¤. mit Werten zu Ã¼berschreiben. Es ist mÃ¶glich, aber bis zum neustart des Python-Interpreters ist dann die Funktion nicht mehr verfÃ¼gbar!"
+   ]
+  },
+  {
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+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "x=4 #Falls x unbekannt ist wird eine Variable x erstellt\n",
+    "x=4+3*9*11#Auf der rechten Seite des Zuweisungsoperators kÃ¶nnen auch komplexe AusdrÃ¼cke stehen. Der Wert von x wird Ã¼berschrieben\n",
+    "y=x*4#Die rechte Seite wird vor Zuweisung ausgewertet. Das Ergebnis wird in y geschrieben. Wenn x verÃ¤ndert wird, bleibt y unverÃ¤ndert, da bei der Auswertung der rechten Seite nur der Wert relevant ist, der momentan in x gespeichert ist!"
+   ]
+  },
+  {
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+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "## <font color='blue'>*Arithmetische Operatoren*</font>\n",
+    "Die Grundrechenarten. Die Arithmetischen Operatoren sind binÃ¤re Operatoren und erwarten Zahlen als Parameter. Die meisten arithmetischen Operatoren funktionieren sowohl mit FlieÃŸkommazahlen, als auch mit ganzen Zahlen. Die Operatoren // und % sind eigentlich nur fÃ¼r ganze Zahlen definiert. Werden sie auf FlieÃŸkommazahlen angewendet, werden diese zunÃ¤chst in ganze Zahlen umgewandelt (siehe Abschnitt Ã¼ber Typumwandlung)\n",
+    "\n",
+    "\n",
+    "|Operator | Bedeutung| Anmerkung|\n",
+    "|---------|----------|----------|\n",
+    "|+        |Addition  |          |\n",
+    "|-        |Subtraktion|         |\n",
+    "|/ |Geteilt durch| Ergebnis ist immer FlieÃŸkommazahl|\n",
+    "|//| Ganzzahliges teilen. Der Rest entfÃ¤llt 7//3 = 2 (Rest 1)|Ergebnis ist immer ganze Zahl|\n",
+    "|% |Modulo. Der Rest beim ganzzahligen Teilen 7%3= 1|Ergebnis ist immer ganze Zahl|\n",
+    "|** |Potenz. Ersatz fÃ¼r Hoch-Zeichen|Ergebnis ist immer FlieÃŸkommazahl|\n",
+    "\n",
+    "### Kombinationsoperatoren\n",
+    "Alle Arithmetischen Operatoren kÃ¶nnen mit einem Zuweisungsoperator komibiniert werden. Z.B. +=. Das ist lediglich eine abkÃ¼rzende Schreibweise und bietet keine neue FunktionalitÃ¤t"
+   ]
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+      "7\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "x=3\n",
+    "x+=4 #Eine AbkÃ¼rzung fÃ¼r x=x+3\n",
+    "print (x)"
+   ]
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+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "## <font color='blue'>*Vergleichsoperatoren*</font>\n",
+    "Die Vergleichsoperatoren vergleichen Zahlen miteinander. Das Ergebnis ist ein boolscher Wert (Wahr oder Falsch). Die Vergleichsoperatoren in Python sind\n",
+    "\n",
+    "|Operator | Bedeutung |\n",
+    "|---------|-----------|\n",
+    "|==|ist gleich|\n",
+    "| <|kleiner|\n",
+    "|> |grÃ¶ÃŸer|\n",
+    "|<= |kleiner oder gleich|\n",
+    "|>= |grÃ¶ÃŸer oder gleich|\n",
+    "|!= |ungleich|\n",
+    "\n",
+    "Der \"ist gleich\" und \"ungleich\" Operator sollte nach mÃ¶glichkeit nicht auf FlieÃŸkommazahlen angewendet werden! Das gilt im Ãœbrigen nicht nur fÃ¼r Python-Programmierung sondern ist ein generelles Problem bei Computern"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
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+   "id": "e500889b-7395-4774-a6c3-57411f9b9dff",
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+   "outputs": [
+    {
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+      "text/plain": [
+       "True"
+      ]
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+     "output_type": "execute_result"
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+   "source": [
+    "3>2"
+   ]
+  },
+  {
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+   "id": "a90e0157-cef9-4fce-bbf3-bc2a131fed9f",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "## <font color='blue'>Operatoren und Zeichenketten</font>\n",
+    "Einige Operatoren sind auch auf Zeichenketten anwendbar.\n",
+    "\n",
+    "Der Vergleich auf Gleichheit und Ungleichheit \"==\", \"!=\" funktionieren wie erwartet. Sie sind Case-Senstitive (also beachten groÃŸ und Kleinschreibung).\n",
+    "\n",
+    "Auch <,>,<=,>= funktionieren. Sie sortieren die Zeichenketten so, wie man es in einem Aktenschrank erwarten wÃ¼rden. Sie vergleichen von links nach rechts Zeichen fÃ¼r Zeichen, bis ein Unterschied auftritt. Dabei gilt die Regel Ziffern vor Buchstaben, alle groÃŸen Buchstaben vor allen kleinen Buchstaben. Bei den Buchstaben ist die Sortierung alphabetisch.\n",
+    "\n",
+    "Die Arithmetischen Operatoren sind teilweise auf Zeichenketten Anwendbar, haben dann aber andere Bedeutung\n",
+    "\n",
+    "|Operator| Bedeutung | Typen der Parameter|\n",
+    "|--------|-----------|--------------------|\n",
+    "|+       |fÃ¼gt Zeichenketten zusammen| str und str|\n",
+    "|*       | HÃ¤ngt die Zeichenkette n mal hintereinander| str und ganze Zahl|\n",
+    "\n",
+    "Beim *-Operator muss die Zeichenkette auf der linken Seite des Operators sein. Die Reihenfolge der Parameter ist also nicht austauschbar!"
+   ]
+  },
+  {
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+   "outputs": [
+    {
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+     "text": [
+      "hallo welt\n",
+      "hallo welthallo welthallo welt\n"
+     ]
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+   ],
+   "source": [
+    "x=\"hallo\"+\" \"+\"welt\"\n",
+    "y=\"hallo welt\"*3\n",
+    "print(x)\n",
+    "print(y)"
+   ]
+  }
+ ],
+ "metadata": {
+  "kernelspec": {
+   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
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+  "language_info": {
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+   "source": [
+    "### <font color='blue'>**Einleitendes Thema**</font>\n",
+    "Nicht nur kommerzielle Software (z.B. CAD, FEM, CFD, etc.), sondern auch eigene kleinere eigene Computerprogramme kÃ¶nnen eine groÃŸe Hilfe beim wissenschaftlichen Arbeiten sein. Bei Experimenten kÃ¶nnen zum einen groÃŸe Mengen an Messdaten gewonnen werden, fÃ¼r die es nahezu unmÃ¶glich ist sie manuell auszuwerten oder zwischen denen interpoliert werden muss. Zum anderen kann man auf Probleme stoÃŸen wie komplizierte Funktionen, die sich nur numerisch integrieren lassen. FÃ¼r solche Zwecke ist es sinnvoll Werkzeuge zur Hand zu haben, mit denen sich schnell Programme schreiben lassen, die einem helfen solche HÃ¼rden zu bewÃ¤ltigen."
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+   "source": [
+    "### <font color='blue'>**Kompaktes Fallbeispiel**</font>"
+   ]
+  },
+  {
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+   "execution_count": 2,
+   "id": "c54061cb",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "Das Volumen unter der Funktion betrÃ¤gt:  2.78\n",
+      "UngefÃ¤hrer Wert bei x = 0,3:  1.32\n",
+      "Funktion:\n"
+     ]
+    },
+    {
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+      "needs_background": "light"
+     },
+     "output_type": "display_data"
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "import scipy.integrate as integrate\n",
+    "import scipy.interpolate as interpolate\n",
+    "import numpy as np\n",
+    "from matplotlib import pyplot as plt\n",
+    "\n",
+    "#Ausgangsfunktion\n",
+    "def f(x, y):\n",
+    "    return np.exp(x)*np.exp(y)\n",
+    "\n",
+    "    \n",
+    "#Integralgrenzen \n",
+    "# -1 < x < 1\n",
+    "# 0 < y < (1 - x^2)^(1/2)\n",
+    "lowerLimit_x, upperLimit_x = -1, 1\n",
+    "lowerLimit_y, upperLimit_y = 0, lambda x: np.sqrt(1-x**2)\n",
+    "\n",
+    "#Integral\n",
+    "integral = integrate.dblquad(f, lowerLimit_x, upperLimit_x, lowerLimit_y, upperLimit_y)\n",
+    "print(\"Das Volumen unter der Funktion betrÃ¤gt: \", np.round(integral[0], 2))\n",
+    "\n",
+    "\n",
+    "#Funktion bei y = 0 an wenigen StÃ¼tzstellen (x) auswerten\n",
+    "x = np.linspace(-1, 1, 5)\n",
+    "values = f(x, 0)\n",
+    "\n",
+    "#Zwischen den Werten interpolieren (z.B.: x = 0,25)\n",
+    "approx = interpolate.interp1d(x, values, kind='linear')\n",
+    "print(\"UngefÃ¤hrer Wert bei x = 0,3: \", np.round(approx(0.25), 2))\n",
+    "\n",
+    "\n",
+    "\n",
+    "#Darstellung mit MatplotLib\n",
+    "print(\"Funktion:\")\n",
+    "X_mesh, Y_mesh = np.meshgrid(np.linspace(-2, 2, 10), np.linspace(0, 2, 5))\n",
+    "values_3d = f(X_mesh, Y_mesh)\n",
+    "ax = plt.figure().add_subplot(projection='3d')\n",
+    "ax.plot_surface(X_mesh, Y_mesh, values_3d)\n",
+    "plt.show()\n",
+    "\n",
+    "print(\"Integralgrenzen:\")\n",
+    "x_integral = np.linspace(-1, 1, 50)\n",
+    "y_integral = np.sqrt(1 - x_integral**2)\n",
+    "x_integral = np.append(x_integral, -1)\n",
+    "y_integral = np.append(y_integral, 0)\n",
+    "plt.plot(x_integral, y_integral)\n",
+    "plt.show()\n",
+    "\n",
+    "print(\"Interpolation:\")\n",
+    "x_interpolate = np.linspace(-1, 1, 50)\n",
+    "plt.scatter(x, values, label=\"Werte\")\n",
+    "plt.plot(x_interpolate, approx(x_interpolate), label=\"Interpolierte Funktion\")\n",
+    "plt.scatter(0.25, approx(0.25), label=\"Interpolierter Wert bei x = 0,25\")\n",
+    "plt.legend()\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "9837909c-0cc2-43bd-9692-bb149a7a87ba",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "# <font color='blue'>**Ãœbersicht - \"SciPy\"**</font>\n",
+    "In diesem Notebook wird die Python Bibliothek SciPy vorgestellt. Mit SciPy werden Funktionen zur VerfÃ¼gung gestellt, die besonders im wissenschaftlichen Bereich von Interesse sind. Es werden MÃ¶glichkeiten zur numerischen Integration von Ein- und Mehrfachintegralen, verschiedene Varianten von Interpolationen und, aufbauend auf NumPy, Methoden der Linearen Algebra bereitgestellt."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "3b34e520-f385-4530-b2c7-4b6df641d72b",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "### <font color='blue'>**Lernziele des Notebooks**</font>\n",
+    "* Integration\n",
+    "    * Einfachintegration\n",
+    "    * Mehrfachintegration\n",
+    "* Interpolation\n",
+    "* Lineare Algebra\n",
+    "    * Spezielle Matrizen\n",
+    "* DGL numerisch LÃ¶sen"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "f6012101-a726-4880-8bbc-ccfee49d9ceb",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "# <font color='blue'>**\"SciPy\"**</font>"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "97a85106-b815-4d8b-bc87-ecd93aae5312",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "### **<font color='blue'>Grundlagen</font>**\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "2db54f1d",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "#### **Integrieren**\n",
+    "Mit SciPy lassen sich Differenzialgleichungen numerisch integrieren. ZunÃ¤chst muss hierfÃ¼r die Funktion definiert werden. Ist die Funktion nur von einer Variable abhÃ¤ngig kann die ```quad```-Funktion zum Differenzieren verwendet werden. \n",
+    "\n",
+    "$\\int_1^3 0+3x\\ dx$"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 1,
+   "id": "3dd9f6e3",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "12.0\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "import scipy.integrate as integrate\n",
+    "\n",
+    "#zu integrierende Funktion\n",
+    "def f(x, a, m):\n",
+    "    return a + x*m\n",
+    "\n",
+    "a, m = 0, 3\n",
+    "lowerLimit, upperLimit = 1, 3\n",
+    "\n",
+    "integral, integral_error = integrate.quad(f, lowerLimit, upperLimit, args=(a, m))\n",
+    "\n",
+    "print(integral)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "b6bba853",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "FÃ¼r Doppel-, Dreifach- oder Mehrfachintegrale kÃ¶nnen mit\n",
+    "```dblquad```,```tplquad```,```nquad``` Mehrfachintegrale gelÃ¶st werden. Es ist auch mÃ¶glich die Integralgrenzen von den Integrationsvariablen abhÃ¤ngen zu lassen oder aus der NumPy Bibliothek ```inf``` zu verwenden.\n",
+    "\n",
+    "$\\int^2_0 \\int^{x+1}_x x \\cdot y \\ dy\\ dx$"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 2,
+   "id": "05423178",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "Wert:  3.6666666666666665\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "import scipy.integrate as integrate\n",
+    "\n",
+    "#zu integrierende Funktion\n",
+    "#Alternative zu 'def'\n",
+    "f = lambda x, y: x*y\n",
+    "\n",
+    "\n",
+    "lowerLimit_x, upperLimit_x = 0, 2\n",
+    "lowerLimit_y = lambda x: x\n",
+    "upperLimit_y = lambda x: 1 + x\n",
+    "\n",
+    "integral = integrate.dblquad(f, lowerLimit_x, upperLimit_x, lowerLimit_y, upperLimit_y)\n",
+    "\n",
+    "print('Wert: ', integral[0])"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "67ca64dd",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "> <font color='grey'>*Weitere Informationen zur Intergralen kÃ¶nnen in der [offiziellen SciPy Dokumentation](https://docs.scipy.org/doc/scipy/tutorial/integrate.html) gefunden werden*"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "439492b8",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "#### **Interpolation**\n",
+    "HÃ¤ufig hat man es mit diskreten und eben nicht kontinuierlichen VerlÃ¤ufen von Messdaten zu tun. Um Messwerte zwischen zwei diskreten Messwerten zu ermitteln bedient man sich der Interpolation. Es gibt verschiedene Interpolationstypen, die genutzt werden kÃ¶nnen: ```linear```,```zero```,```cubic```,```nearest```,```previous```,..."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 3,
+   "id": "301a6ae6",
+   "metadata": {
+    "scrolled": true
+   },
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "Der Interpolierte Wert fÃ¼r x = 2,5 ist  -0.28856707317073166\n"
+     ]
+    },
+    {
+     "data": {
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+       "<Figure size 432x288 with 1 Axes>"
+      ]
+     },
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+     },
+     "output_type": "display_data"
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "import scipy.interpolate as interp\n",
+    "import matplotlib.pyplot as plt\n",
+    "import numpy as np\n",
+    "\n",
+    "#Datenset\n",
+    "x_data = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]\n",
+    "y_data = [0, 0.1, -0.2, -0.2, 0.5, 0.8, 0.1, -1.4, -0.2, 2.3]\n",
+    "\n",
+    "#Interpolierte Funktion\n",
+    "#Ã„ndern sie den Parameter 'cubic', um die VerÃ¤nderung der Interpolation zu beobachten\n",
+    "f_lin = interp.interp1d(x_data, y_data)\n",
+    "f = interp.interp1d(x_data, y_data, kind='cubic')\n",
+    "\n",
+    "#Einzelne Werte auslesen\n",
+    "print(\"Der Interpolierte Wert fÃ¼r x = 2,5 ist \", f(2.5))\n",
+    "\n",
+    "#Visualisierung mit MatplotLib\n",
+    "x = np.linspace(0, 9, 100)\n",
+    "plt.scatter(x_data, y_data) #ursprÃ¼ngliche Daten\n",
+    "plt.plot(x, f_lin(x))           #interpolierte Funktion\n",
+    "plt.plot(x, f(x))           #interpolierte Funktion\n",
+    "plt.legend(['linear', 'cubic', 'data'], loc='best')\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
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+   "source": [
+    "> <font color='grey'>*Weitere Informationen zur Interpolation kÃ¶nnen in der [offiziellen SciPy Dokumentation](https://docs.scipy.org/doc/scipy/tutorial/interpolate.html) gefunden werden*"
+   ]
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+  {
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+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "#### Lineare Algebra\n",
+    "An dieser Stelle sollten Sie schon mit [NumPy](link) vertraut sein, das Ihnen viele MÃ¶glichkeiten der Linearen Algebra bietet. Viele dieser Funktionen werden direkt von SciPy Ã¼bernommen, sodass sie auf identische Art und Weise genutzt werden kÃ¶nnen, indem ```scipy.linalg``` statt ```numpy.linalg``` importiert wird. Dies sei jedoch mit Vorsicht zu genieÃŸen, da sie leicht abweichen kÃ¶nnen, sodass Sie immer die [Dokumentation](https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/linalg.html#module-scipy.linalg) Ã¼berprÃ¼fen sollten.\n",
+    "\n",
+    "```inv```,```det```,```norm```,```eig```,..."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "80fc0fd7",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "SciPy erweitert diese NumPy Bibliothek mit Funktionen, die effizienteres Speichern und Rechnen mit hÃ¤ufig vorkommenden Matrizen ermÃ¶glicht.\n",
+    "\n",
+    "Wie zum Beispiel Dreiecksmatrizen, Tridiagonalmatrizen, LU oder Choleski Zerlegungen, ..."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 6,
+   "id": "7dc22fc3",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "LÃ¶sung der Dreiecksmatrix:  [ 1.66666667 -3.33333333 -0.44444444  2.14814815]\n",
+      "\n",
+      "Tridiagonalmatrix:\n",
+      "[[ 3. -1.  0.  0.]\n",
+      " [-1.  3. -1.  0.]\n",
+      " [ 0. -1.  3. -1.]\n",
+      " [ 0.  0. -1.  3.]]\n",
+      "Eigenwerte:  [1.38196601 2.38196601 3.61803399 4.61803399]\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "import scipy.linalg as linalg\n",
+    "\n",
+    "    #Dreiecksmatrix\n",
+    "A = np.array([[3, 0, 0, 0],\n",
+    "              [2, 1, 0, 0],\n",
+    "              [4, 1, 3, 0],\n",
+    "              [1, 2, 1, 3]])\n",
+    "v = np.array([5, 0, 2, 1])\n",
+    "x = linalg.solve_triangular(A, v, lower=True)\n",
+    "print(\"LÃ¶sung der Dreiecksmatrix: \", x)\n",
+    "\n",
+    "\n",
+    "    #Tridiagonalmatrix\n",
+    "#Diagonalelemente\n",
+    "d = 3*np.ones(4)\n",
+    "e = -1*np.ones(3)\n",
+    "\n",
+    "#Nur zu VerstÃ¤ndniszwecken: die Tridiagonalmatrix A\n",
+    "A = np.diag(d) + np.diag(e, k=1) + np.diag(e, k=-1)\n",
+    "\n",
+    "#Eigenwerte und Eigenvektoren\n",
+    "w, v = linalg.eigh_tridiagonal(d, e)\n",
+    "\n",
+    "print(\"\\nTridiagonalmatrix:\")\n",
+    "print(A)\n",
+    "print(\"Eigenwerte: \", w)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "960ff95c",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "#### Numerisches LÃ¶sen von Differentialgleichungen (Anfangswertproblemen)\n",
+    "\n",
+    "Differentialgleichungen (DGL) sind Gleichungen, in denen (unbekannte) Funktionen und ihre Ableitungen vorkommen und die das Ziel haben, die unbekannte Funktion zu bestimmen. Numerisch kann keine analytische Funktionsvorschrift wemittelt werden, aber fÃ¼r einen gegebenen Anfangswert $y_0$ kÃ¶nnen darauffolgende Wertepaare $t_n, y(t_n)$ bestimmt werden. Dabei wird die kontinuierliche LÃ¶sung in kleine aber diskrete Zeitschritte unterteilt und die LÃ¶sung Ã¼ber diese angenÃ¤hert.\n",
+    "\n",
+    "````scipy.integrate```` bringt eine Funktion fÃ¼r das numerische LÃ¶sen von DGL-Systemen mit: ````solve_ivp()````. Diese Funktion erhÃ¤lt eine Reihe von Parametern. Mindestens: Eine Funktion, die die DGL reprÃ¤sentiert, eine Zeitspanne, die berechnet werden soll, und einen Anfangswert. Optionale Parameter (keyword arguments) sind unter anderem ````max_step```` fÃ¼r die maximale Zeitschrittweite, ````args```` fÃ¼r die Ãœbergabe weiterer Paramameter auÃŸer y und t an die Funktion der DGL, und ````events```` - das sind Funktionen mit denen das Eintreten bestimmter Bedingungen Ã¼berwacht werden kann.\n",
+    "\n",
+    "Die Gleichung, die die DGL reprÃ¤sentiert erhÃ¤lt als Parameter zunÃ¤chst t und y, und anschlieÃŸend weitere Parameter (diejenigen, die der ````solve_ivp```` per ````args```` Ã¼bergeben werden). Sie gibt als RÃ¼ckgabewert die Ã„nderung von y zu den gegebenen Parametern an. Dies entspricht der rechten Seite einer nach $y'(t)=f(y(t),t)$ aufgelÃ¶sten DGL. \n",
+    "\n",
+    "Y, die RÃ¼ckgabewerte der DGL-Funktion und die Anfangsbedingungen sind Listen bzw. Arrays mit mindestens einem Eintrag. Mehrere EintrÃ¤ge weden zum Beispiel fÃ¼r ein DGL System oder eine DGL hÃ¶herer Ordnung (die in ein System erster Ordnung Ã¼berfÃ¼hrtwird) benÃ¶tig. FÃ¼r jede Berechnung mÃ¼ssen diese Listen alle gleich lang sein.\n",
+    "\n",
+    "Das Ergebnis der Berechnung ist ein Dictionary mit diversen Informationen Ã¼ber die LÃ¶sung, unter anderem den Datenreihen fÃ¼r die GrÃ¶ÃŸen t und y und das Eintreten der Events.\n",
+    "\n",
+    "Das Beispiel zeigt die DGL $y'(t) = a\\cdot y(t)$ mit den Anfangsbedingungen y(0) = 0.5, a=0.5,, wir rechnen bis 10s und wir lassen per Eventfunktion Ã¼berwachen, ob und wann y = 10 eingetreten ist."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 7,
+   "id": "b29ca17e",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "  message: 'The solver successfully reached the end of the integration interval.'\n",
+      "     nfev: 128\n",
+      "     njev: 0\n",
+      "      nlu: 0\n",
+      "      sol: None\n",
+      "   status: 0\n",
+      "  success: True\n",
+      "        t: array([ 0.        ,  0.11491575,  0.61491575,  1.11491575,  1.61491575,\n",
+      "        2.11491575,  2.61491575,  3.11491575,  3.61491575,  4.11491575,\n",
+      "        4.61491575,  5.11491575,  5.61491575,  6.11491575,  6.61491575,\n",
+      "        7.11491575,  7.61491575,  8.11491575,  8.61491575,  9.11491575,\n",
+      "        9.61491575, 10.        ])\n",
+      " t_events: [array([5.99146352])]\n",
+      "        y: array([[ 0.5       ,  0.52957033,  0.67998179,  0.87311394,  1.12110053,\n",
+      "         1.43952164,  1.84838246,  2.37337015,  3.04746773,  3.91302619,\n",
+      "         5.02442531,  6.45149008,  8.28387759, 10.63670983, 13.65780636,\n",
+      "        17.53697126, 22.5179178 , 28.91358003, 37.12577325, 47.67043852,\n",
+      "        61.21005732, 74.20664104]])\n",
+      " y_events: [array([[10.]])]\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "import scipy.integrate\n",
+    "\n",
+    "# Die Funktion zur ReprÃ¤sentation der DGL. Dies kann beliebig komplex werden, solange Zahlen zurÃ¼ckgegeben werden\n",
+    "def dgl_func(t,y,a):\n",
+    "    return [a*y,] #Liste mit einem Eintrag der Ã„nderung der entpsrechenden Komponente\n",
+    "\n",
+    "# Funktion zur Ãœberwachung von Ereignissen. Das Ereignis gilt als eingetreten, wenn 0 zurÃ¼ckgegeben wird,\n",
+    "# bzw. sich zwischen zwei Schritten das Vorzeichen Ã¤ndert. Die Funktion benÃ¶tigt immer exakt die selbe Parameterliste wie \n",
+    "# die zugehÃ¶rige DGL-Funktion.\n",
+    "\n",
+    "def event_func(t,y,a):\n",
+    "    return y[0]-10\n",
+    "\n",
+    "timespan = [0,10] \n",
+    "y0 = [0.5,]\n",
+    "\n",
+    "solution = scipy.integrate.solve_ivp(dgl_func, timespan, y0, max_step = 0.5, args = [0.5,], events = event_func)\n",
+    "print(solution)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "a398cee1",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Und ein Plot des Ergebnisses:"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 9,
+   "id": "d9647b1c",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "data": {
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+    "Analog zum Integrieren lassen sich Funktionen auch Differenzieren."
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+    "import scipy.misc as diff\n",
+    "import matplotlib.pyplot as plt\n",
+    "import numpy as np\n",
+    "\n",
+    "f = lambda x: np.exp(x)/(x**2)\n",
+    "\n",
+    "print(\"Ableitung an der Stelle x = 5: \", diff.derivative(f, 5, dx=1e-6))\n",
+    "\n",
+    "#100 StÃ¼tzstellen zwischen 1 und 5 erzeugen\n",
+    "x = np.linspace(1, 5, 100)\n",
+    "\n",
+    "#Dartsellung der Ableitungen mit MatplotLib\n",
+    "plt.plot(x, f(x), label=\"Ausgangsfunktion\")\n",
+    "plt.plot(x, diff.derivative(f, x, dx=1e-6), label=\"Erste Ableitung\")\n",
+    "plt.plot(x, diff.derivative(f, x, dx=1e-6, n=2), label=\"Zweite Ableitung\")\n",
+    "plt.legend()\n",
+    "plt.show()"
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+    "#### ParameterschÃ¤tzung\n",
+    "Neben Interpolation kÃ¶nnen Werte auch einer spezifischen Funktion zugeordnet werden.\n",
+    "Ist bekannt, um welche Art von Funktion es sich handelt, kann diese auch vorgegeben und deren Parameter bestimmt werden. Es musst zunÃ¤chst der Funktionstyp definiert werden, sodass dann ausgehend von Startwerten die Parameter numerisch bestimmt werden.\n",
+    "\n",
+    "Zum Beispiel fÃ¼r:\n",
+    "\n",
+    "$F(t) = A\\cdot sin(\\omega t + \\beta)$"
+   ]
+  },
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+      "[4.         3.14159265 1.57079633]\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "import scipy.optimize as opt\n",
+    "import numpy as np\n",
+    "\n",
+    "#Harmomische Schwingung\n",
+    "f = lambda t, A, omega, beta: A*np.sin(omega*t+beta)\n",
+    "\n",
+    "#Werte in der Regel direkt gegeben, Funktion nicht bekannt\n",
+    "t = np.linspace(0, 10, 10)\n",
+    "data = f(t, 4, np.pi, np.pi/2)\n",
+    "\n",
+    "\n",
+    "#Funktionsparameter approximieren\n",
+    "A_initialGuess, omega_initialGuess, beta_initialGuess = 2, 3, 1.5\n",
+    "parameters, convergence = opt.curve_fit(f, t, data, p0=(A_initialGuess, omega_initialGuess, beta_initialGuess))\n",
+    "\n",
+    "print(parameters)"
+   ]
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+    "# <font color='blue'>**Ãœbung 9 - Numerische Berechnung DGL am Beispiel der Modellierung eines Falls mit Luftwiderstand - SciPy**"
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+   "source": [
+    "In dieser Ãœbung mÃ¶chten wir uns noch einmal mit der Modellierung von freiem und gebremsten Fall in der ErdatmosphÃ¤re (z.B. Fallschirmsprung) beschÃ¤ftigen. In Ãœbung 8 haben wir gesehen, dass die analytische Modellierung bei komplexeren FÃ¤llen schnell sehr komplex bis zu unmÃ¶glich werden kann. In dieser Ãœbung sollen daher numerische LÃ¶sungen fÃ¼r die Problemstellungen entwickelt werden. Mit der numerischen LÃ¶sung kÃ¶nnen wir die KomplexitÃ¤t der Gleichung und Randbedingungen auch relativ leicht weiter erhÃ¶hen. Wir wollen beginnen, ein sehr einfaches numerisches Verfahren selbst zu implementieren, um die grundlegende Funktionsweise von numerischen Verfahren nachzuvollziehen. AnschlieÃŸend werden wir hÃ¶herwertige Verfahren nutzen, die uns das *SciPy* Package zur VerfÃ¼gung stellt. Als Nebenthema wollen wir die Ergebnisse in Dateien schreiben und aus Dateien einlesen. Das ermÃ¶glicht den Datenaustausch oder das Aufteilen von Berechnung und Auswertung auf verschiedene Programme. Im Gegensatz zu den Ãœbungen 5-7 mit dem Fachwerk wollen wir diesmal keine groÃŸe Klassenstruktur aufbauen, sondern die Bearbeitung eher in Form von kompakten Skripten vornehmen.\n",
+    "\n",
+    "### <font color='blue'>**Vorkenntnisse - Notebooks**\n",
+    "* Ãœbung 1\n",
+    "* Ãœbung 2\n",
+    "* Ãœbung 4\n",
+    "* Ãœbung 8\n",
+    "* Grundlagen Python\n",
+    "* Grundlagen Matplotlib\n",
+    "* Grundlagen Numpy\n",
+    "* Grundlagen SciPy\n",
+    "    \n",
+    "\n",
+    "### <font color='blue'>**Lernziele**\n",
+    "* Skripten einfacher numerischer LÃ¶sungsverfahren\n",
+    "* Einsatz von *SciPy* zur numerischen LÃ¶sung von Problemstellungen"
+   ]
+  },
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+   "id": "5a2d5757",
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+   "source": [
+    "## <font color='blue'>**Problemstellung 1: Freier Fall mit Luftwiderstand - eigene Implementierung**\n",
+    "\n",
+    "#### <font color='blue'>**Aufgabenstellung**\n",
+    "FÃ¼r einen freien Fall mit Luftwiderstand sollen angenÃ¤herte Ergebnisse fÃ¼r den Geschwindigkeits-Zeit und den HÃ¶he-Zeit Verlauf ermittelt werden. Aus diesen Werten kÃ¶nnen gesuchte GrÃ¶ÃŸen, wie die Zeit bis zum Boden, die Geschwindigkeit am Boden etc. abgelesen bzw. interpoliert werden. Dabei soll ein selbst implementiertes Verfahren (z.B. Euler explizit) zum Einsatz kommen.\n",
+    "Zusatz: Das Skript soll mÃ¶glichst schnelle Rechenzeit haben. Dazu sollen die Numpy Arrays auf verschiedene Arten verwendet werden. (1. AnhÃ¤ngen neuer Ergebnisse an \"wachsende\" Arrays und 2. Arrays der vollen benÃ¶tigten LÃ¤nge vor der Rechnung anlegen und mit Nullen fÃ¼llen, und wÃ¤hrend der Rechnung die EintrÃ¤ge mit den neuen Ergebnissen Ã¼berschreiben.) "
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+    "#### <font color='blue'>**VorÃ¼berlegung**\n",
+    "    \n",
+    "ZunÃ¤chst sollten wir das Prinzip der numerischen Berechnung von gewÃ¶hnlichen Differentialgleichungen (z.B. $y'(t) = f(y(t),t)$) mithilfe von *Einschrittverfahren* ansehen. Es gibt Fachvorlesungen, in denen diese Verfahren genauer hergeleitet und hinsichtlich ihrer QualitÃ¤t analysiert werden. Wir wollen uns in dieser Ãœbung daher nur das Prinzip ansehen und ein gegebenes Verfahren (*Euler explizit*) implementieren.\n",
+    "Die Idee eines Einschrittverfahrens ist es, die kontinuierliche Zeit in kleine diskrete Zeitschritte aufzuteilen. FÃ¼r jeden Zeitschritt wird dann mithilfe der verfÃ¼gbaren Informationen angenÃ¤hert, welche Werte am nÃ¤chsten Zeitschritt gelten. Mit diesen wird dann wiederum der darauffolgende Zeitschritt angenÃ¤hert. So geht es immer weiter. Wie die Werte des nÃ¤chsten Zeitschritts angenÃ¤hert werden, hÃ¤ngt vom Verfahren ab. Das bereits angesprochene *Euler explizit* (auch *Euler vorwÃ¤rts* genannt) ist recht intuitiv zu verstehen. In einem Zeitschritt $t_n$ stehen (entweder als Anfangsbedingung oder als Ergebnis des vorherigen Schritts) Werte fÃ¼r $t$ und $y$ zur VerfÃ¼gung. Diese Werte kÃ¶nnen in die rechte Seite der Differentialgleichung eingesetzt werden. Alle Variablen und Parameter fÃ¼r diese sind dann bekannt. Daher fÃ¼hrt das Einsetzen zu einem **Zahlenwert**, der $y'(t)$, also der Steigung von $y(t)$ entspricht. In der analytischen LÃ¶sung gilt diese Steigung nur exakt am Punkt $t_n$. Nur ein infinitesimales StÃ¼ck weiter in der Zeit kÃ¶nnte eine andere Steigung haben. Im numerischen *Euler explizit* Verfahren nehmen wir jedoch diese Steigung fÃ¼r den kompletten Zeitschritt an. Damit setzen wir eine lineare Funktion mit der entsprechenden Steigung an den bisherigen Punkt ($t_n$, $y_n$) an und ermitteln so das nÃ¤chste Wertepaar ($t_{n+1}$, $y_{n+1}$). Wir kÃ¶nnen die Berechnungsvorschrift also schreiben als $y_{n+1} = y_n + \\Delta t \\cdot y'(y_n,t_n)$. Dieses Verfahren ist auch in der folgenden Abbildung skizziert. In der Abbildung ist der Zeitschritt $\\Delta t$ sehr groÃŸ, wodurch die LÃ¶sungen sich schnell voneinander entfernen. Man kann vermutlich gut nachvollziehen, dass eine Verringerung der Zeitschrittweite eine bessere Abbildung der LÃ¶sung zur Folge hat. Man nennt das Konvergenz (die numerische LÃ¶sung konvergiert gegen die exakte LÃ¶sung). Je gekrÃ¼mmter die LÃ¶sung ist, desto kleiner mÃ¼ssen die Zeitschritte sein, um der KrÃ¼mmung zu folgen."
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+    "![expl_Einschrittverfahren_small.PNG](attachment:expl_Einschrittverfahren_small.PNG)"
+   ]
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+   "source": [
+    "FÃ¼r unsere Problemstellung nutzen wir die in Uebung 8 mit *SymPy* hergeleitete DGL:\n",
+    "$\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}t}v(t) = \\frac{\\frac{\\rho}{2}v(t)^2C_WA-mg}{m}$ und $\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}t}h(t) = v(t)$. Wir haben also zwei gekoppelte DGL. Das ist aber kein Problem. Wir kÃ¶nnen einfach in jedem Zeitschritt beide Gleichungen lÃ¶sen, da alle Daten vorhanden sind. Wir setzen also die bekannte Geschwindigkeit $v(t_n)$ in $\\frac{\\frac{\\rho}{2}v(t)^2C_WA-mg}{m}$ ein und erhalten den Wert fÃ¼r die aktuelle Beschleunigung. Mit diesem errechnen wir den Wert der Geschwindigkeit im nÃ¤chsten Zeitschritt. FÃ¼r die HÃ¶he setzen wir auch die momentane Geschwindigkeit in $v(t)$ ein. Das entspricht bereits der Ã„nderung der HÃ¶he, sodass wir den Wert der nÃ¤chsten HÃ¶he ermitteln kÃ¶nnen.\n",
+    "\n",
+    "Nun wissen wir, wie wir das Ergebnis rechnerisch ermitteln wollen. Nun mÃ¼ssen wir noch Ã¼berlegen, wie wir diese Berechnung im Programm umsetzen wollen. Als Ergebnis bieten sich numpy-Arrays an, die die Zeitreihen von $t$,$v$ und $h$ speichern, da wir diese einfach mit ````plt.plot(t,v)```` ansehen kÃ¶nnen. Dann benÃ¶tigen wir die Parameter fÃ¼r den Berechnungsfall ($g, m, \\rho, C_W, A$) mit Anfangsbedingungen $v_0, h_0$). Zuletzt benÃ¶tigen wir Parameter fÃ¼r die Zeitsteuerung. Eine Anfangszeit, Endzeit und den Zeitschritt $\\Delta t$, den wir ````dt```` nennen. Mit diesen Daten kÃ¶nnen wir eine Schleife aufbauen, die Ã¼ber alle Zeitschritte iteriert, die Berechnungen ausfÃ¼hrt und die neuen Ergebnisse in das entsprechende Array eintrÃ¤gt. Nachdem alle Zeitschritte berechnet sind, mÃ¶chten wir die Ergebnisse plotten."
+   ]
+  },
+  {
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+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "#### <font color='blue'>**Umsetzung**\n",
+    "    \n",
+    "Wir wollen unseren Code anhand des Beispiels 1 aus Ãœbung 8 testen. Dazu verwenden wir folgende Werte (in SI Basiseinheiten):\n",
+    "\n",
+    "|GrÃ¶ÃŸe|Wert|\n",
+    "|-----|-----|\n",
+    "|$g$ | 9.81 |\n",
+    "|$m$ | 1 |\n",
+    "|$rho$ | 1.225 |\n",
+    "|$C_W$ | 0.18 |\n",
+    "|$A$ | 0.008 |\n",
+    "|$v_0$ | 0 |\n",
+    "|$h_0$ | 1200 |\n",
+    "    \n",
+    "Die Zeit soll von 0s bis 20s gehen, bei einer Zeitschrittweite von 0.25s.\n",
+    "    \n",
+    "Diese Variablen definieren wir zunÃ¤chst. Dann erstellen wir die numpy-Arrays fÃ¼r t, v, und h. t fÃ¼llen wir gleich komplett mithilfe von  ````np.arange()```` und den Variablen zur Zeitsteuerung. v und h  legen wir in dieser Version als Array mit zunÃ¤chst nur einem Eintrag, der Anfangsbedingung, an.\n",
+    "    \n",
+    "Dann iterieren wir in einer for-Schleife Ã¼ber alle Elemente des Arrays mit den Zeitwerten. Da wir immer den folgenden Zeitschritt berechnen, lassen wir die Schleife nur bis zum vorletzten Eintrag gehen. Sonst hÃ¤tten wir Ergebnisse fÃ¼r einen Zeitschritt spÃ¤ter, aber keinen Wert fÃ¼r t im Array. Innerhalb der Schleife berechnen wir zunÃ¤chst a mithilfe der aktuellen Werte (darauf greifen wir mit dem Index [-1] zu. und fÃ¼hren anschlieÃŸend die Berechnung von $v_{n+1}$ und $h_{n+1}$ aus. Die Ergebnisse hÃ¤ngen wir an die Arrays an. Allerdings kÃ¶nn neue Elemente an numpy Arrays nicht wie an Listen angehÃ¤ngt werden. Es gibt eine Funktion ````np.append(array, value)````, die wir nutzen. Sie erzeugt aber einen neuen Array, den wir mit dem gleichen Namen wie vorher abspeichern.\n",
+    "    \n",
+    "(Hintergrund: numpy arrays stehen im Speicher immer zusammen, wÃ¤hrend bei Listen die Elemente nur wissen, wo im Speicher das nÃ¤chste Element zu finden ist. Das auszuwerten und den Sprung im Speicher zu machen ist aber langsamer, als einfach einen Platz im Speicher weiterzugehen. DafÃ¼r kÃ¶nnen beliebig neue Listenelemente angehÃ¤ngt werden. Bei numpy arrays steht der Geschwindigkeitsvorteil im Vordergrund. DafÃ¼r kann der Array nicht beliebig erweitert werden, da der Speicher ja belegt sein kÃ¶nnte. Es muss also immer ein neuer Array an einer Stelle mit genug Platz im Speicher angelegt werden)\n",
+    "    \n",
+    "Zuletzt geben wir die Ergebnisse mit Matplotlib aus.\n",
+    "    \n",
+    "In der Notebookversion ohne LÃ¶sung kannst du dich selbst daran versuchen, die Zeilen zu fÃ¼llen. Die Kommentare und angefangenen Zeilen geben den Rahmen vor. An Stellen, wo etwas ergÃ¤nzt werden muss, steht ein '?'. Wenn du an einer Stelle nicht weiterkommst, nimm ruhig das Notebook mit LÃ¶sung zur Hilfe. "
+   ]
+  },
+  {
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+   "execution_count": null,
+   "id": "9593b4b7",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "import matplotlib.pyplot as plt\n",
+    "import numpy as np"
+   ]
+  },
+  {
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+   "execution_count": null,
+   "id": "a34131fd",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "#Parameter (zusÃ¤tzliche ErgÃ¤nzen)\n",
+    "g = '?'\n",
+    "'?'\n",
+    "\n",
+    "#Zeitschritte\n",
+    "t0 = '?'\n",
+    "te = '?'\n",
+    "dt = '?'\n",
+    "\n",
+    "#Anfangswerte\n",
+    "'?'\n",
+    "\n",
+    "#LÃ¶sungsfelder anlegen\n",
+    "t = np.arange(t0,te,dt)\n",
+    "v = np.array([v_0,])\n",
+    "h = '?'\n",
+    "\n",
+    "#Zeitschrittverfahren - Schleife Ã¼ber t (da immer von t bis t+dt gerechnet wird, wird das letzte t ausgeklammert)\n",
+    "for '?' in '?':\n",
+    "    \n",
+    "    #Ermittle Beschleunigung zum aktuellen Zeitpunkt\n",
+    "    #Mit [-1] wird immer auf das neueste Element, also den aktuellen Zustand zugegriffen\n",
+    "    \n",
+    "    a = '?'\n",
+    "    \n",
+    "    #Ermittle v und s des nÃ¤chsten Schrittes unter Annahme konstanter a und v fÃ¼r den Schritt\n",
+    "    v_step = v[-1] + '?'\n",
+    "    h_step = '?'\n",
+    "    \n",
+    "    #HinzufÃ¼gen der Ergebnisse in die Arrays. (Durch das neu speichern nicht sehr effizient)\n",
+    "    v = np.append(v, v_step)\n",
+    "    h = '?'\n",
+    "    \n",
+    "#Plotten der Ergebnisse v(t)\n",
+    "'?'"
+   ]
+  },
+  {
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+   "execution_count": null,
+   "id": "d0483bdf",
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+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "#Plotten der Ergebnisse h(t)\n",
+    "'?'"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "d52779ed",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Wir haben nun numerische LÃ¶sungen fÃ¼r die Problemstellung 1 gefunden. Man kann den Einfluss des Luftwiderstands gut erkennen. Nutze den oben stehenden Code gerne, um verschiedene Parametervariationen zu untersuchen, oder die Zeitschrittweite zu verÃ¤ndern und diesen Einfluss zu beobachten.\n",
+    "\n",
+    "Hier noch ein kleiner Exkurs zur Zeitschrittweite in expliziten Verfahren: Wie in den Mathematikvorlesungen genauer behandelt wird, kÃ¶nnen explizite Methoden instabil werden, wenn die Zeitschritte fÃ¼r gegebene Problemstellungen zu groÃŸ sind. Ohne die Bedingungen und HintergrÃ¼nde zu vertiefen, kannst du dir das hier ansehen (Alle der im Folgenden aufgefÃ¼hrten Zeitschritte sind deutlich zu groÃŸ fÃ¼r eine realitÃ¤tsnahe Simulation). Lass dazu die Zeit z.B. bis 500 s laufen und verwende Zeitschrittweiten 10 s, 12 s, 16 s und 17 s. Bei 10 s siehst du in der Geschwindigkeit eine Oszillation, die aber abklingt und sich auf der Gleichgewichtsgeschwindigkeit einpendelt. Bei 12 s baut sich eine Oszillation auf, die nicht abklingt. Bei 16 s ist diese Oszillation deutlich ungleichmÃ¤ÃŸiger und bei 17 s wird die Oszillation extrem angefacht, sodass jedes lokale Maximum GrÃ¶ÃŸenordnungen grÃ¶ÃŸer ist, als das vorherige. Die Rechnung bricht ab, da die Werte den maximalen Wert fÃ¼r float Variablen ($1.797\\cdot10^{308}$) Ã¼berschreiten. Die kritische Zeitschrittweite ist problemabhÃ¤ngig. Man kann daher nicht ganz allgemein sagen, wie groÃŸ Zeitschritte sein mÃ¼ssen. Es gibt auch numerische Verfahren (implizite Verfahren), die nicht instabil werden kÃ¶nnen. Das bedeutet aber nur, dass solch exzessives Aufschaukeln ausgeschlossen ist. Es bedeutet nicht automatisch, dass die Ergebnisse bei groÃŸen Zeitschritten viel mit der exakten LÃ¶sung zu tun haben.\n",
+    "\n",
+    "#### <font color='blue'> **Performance**\n",
+    "\n",
+    "In der Aufgabenstellung war gefordert, das Skript mÃ¶glichst rechenzeitschonend aufzubauen und dazu verschiedene Arten der Arbeit mit den Arrays zu vergleichen. Bevor wir die zweite Variante programmieren, wollen wir dafÃ¼r sorgen, dass wir die Geschwindigkeit der Rechnung vergleichen kÃ¶nnen. Dazu messen wir die Zeit, die die Schleife benÃ¶tigt. Das Paket ````time```` bietet eine Methode ````time()````, die die aktuelle Uhrzeit, gemessen in s (inkl. Nachkommastellen) seit dem Zeitpunkt 01.01.1970, 0:00:00, ausgibt. Die Differenz dieser Zeit vor und nach dem Durchlaufen der Schleife gibt uns die Laufzeit. Um die Zeit besser vergleichen zu kÃ¶nnen, erhÃ¶hen wir die Anzahl an Iterationen, indem wir die Zeitschrittweite auf 0.001 s reduzieren und bis 50 s (also 50.000 Iterationen) rechnen. Wir speichern das Ergebnis und die benÃ¶tigte Zeit, um es spÃ¤ter mit der verbesserten Methode vergleichen zu kÃ¶nnen."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "fceff05a",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "#Wiederholung der Rechnung mit mehreren Zeitschritten und Rechenzeitmessung\n",
+    "\n",
+    "import time \n",
+    "\n",
+    "#Zeitschritte\n",
+    "'?'\n",
+    "\n",
+    "#LÃ¶sungsfelder anlegen bzw, zurÃ¼cksetzen\n",
+    "'?'\n",
+    "\n",
+    "#Zeitmessung starten\n",
+    "clock_start = '?'\n",
+    "\n",
+    "#Zeitschrittverfahren - Schleife Ã¼ber t (kann von oben Ã¼bernommen werden, oder ohne Vorlage nochmal ausprobiert werden)\n",
+    "for '?':\n",
+    "    \n",
+    "    #Ermittle Beschleunigung zum aktuellen Zeitpunkt\n",
+    "    '?'\n",
+    "    #Ermittle v und s des nÃ¤chsten Schrittes unter Annahme konstanter a und v fÃ¼r den Schritt\n",
+    "    '?'\n",
+    "    #HinzufÃ¼gen der Ergebnisse in die Arrays. (Durch das neu speichern nicht sehr effizient)\n",
+    "    '?'\n",
+    "\n",
+    "#Speichern der Ergebnisse fÃ¼r den Vergleich\n",
+    "v_var1 = v\n",
+    "\n",
+    "#Zeit seit start der Zeitmessung\n",
+    "elapsed_time = '?'\n",
+    "\n",
+    "\n",
+    "# Das folgende ist ein \"f-string\": Eine komfortable Art, Variablen mit bestimmtem Format in einem String auszugeben.\n",
+    "# Ein aktualisiertes Version des ersten Notebooks \"Python Grundlagen\" mit einer ErklÃ¤rung dazu steht nun bereit.\n",
+    "print(f\"elapsed time: {elapsed_time:.3f}s\")"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "d34214db",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Wie in der ErklÃ¤rung zu ````np.append()```` bereits angesprochen, wird in jeder Iteration das Array neu angelegt. Diese Les- und SchreibvorgÃ¤nge benÃ¶tigen Zeit. Wir kÃ¶nnen daher das Skript hinsichtlich der Laufzeit verbessern, indem wir von Beginn an die Arrays in der geforderten GrÃ¶ÃŸe anlegen und Ã¼berall eine 0 speichern. Dann mÃ¼ssen diese nicht stÃ¤ndig neu geschrieben werden. Wir kÃ¶nnen dann allerdings nicht mehr mit [-1] auf den neuesten Wert zugreifen, sondern wir mÃ¼ssen den entsprechenden Eintrag mit dem passenden Index ansteuern. Wir iterieren in der Schleife also Ã¼ber eine ZÃ¤hlvariable i, die dem Index des aktuellen Zeitpunkts entspricht. Die Ergebnisse tragen wir in das Array in das Feld i+1 ein. Durch die feste Zeitschrittweite ist die Anzahl benÃ¶tigter Iterationen bekannt. Der Array t hat die benÃ¶tigte LÃ¤nge, die wir mit ````len(array)```` heruasfinden. Die anderen Arrays benÃ¶tigen die selbe LÃ¤nge und wir mÃ¼ssen die ZÃ¤hlvariable von 0 bis zum vorletzten Eintrag laufen lassen. Die benÃ¶tigte Zeit ermitteln wir analog. Zum Schluss lassen wir uns die Zeit ausgeben, einen prozentualen Vergleich mit der zuvor benÃ¶tigten Zeit, sowie einen Plot mit den Ergebnissen aus beiden Rechnungen, um die Gleichheit zu verifizieren."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "2dec5164",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "#Modifizierte Version, in der die np.arrays nicht stÃ¤ndig neu gespeichert werden, sondern mit der bekannten Anzahl an Zeitschritten mit 0 initialisiert werden.\n",
+    "\n",
+    "#Zeitschritte\n",
+    "\n",
+    "#LÃ¶sungsfelder anlegen bzw, zurÃ¼cksetzen\n",
+    "t = np.arange(t0,te,dt)\n",
+    "v = np.zeros('?')\n",
+    "h = '?'\n",
+    "\n",
+    "v[0] = '?'\n",
+    "h[0] = '?'\n",
+    "\n",
+    "#Zeitmessung starten\n",
+    "'?'\n",
+    "             \n",
+    "#neue Schleife, diesmal Ã¼ber i             \n",
+    "for '?' in '?':\n",
+    "    \n",
+    "    #Ermittle Beschleunigung zum aktuellen Zeitpunkt\n",
+    "    a = '?'\n",
+    "    \n",
+    "    #Ermittle v und s des nÃ¤chsten Schrittes unter Annahme konstanter a und v fÃ¼r den Schritt\n",
+    "    v_step = '?'\n",
+    "    h_step = '?'\n",
+    "    \n",
+    "    #HinzufÃ¼gen der Ergebnisse in die Arrays\n",
+    "    v['?'] = '?'\n",
+    "    h['?'] = '?'\n",
+    "\n",
+    "#Zeitmessung auswerten\n",
+    "elapsed_time_2 = '?'\n",
+    "\n",
+    "#Auswertung der Zeitmessung und Plot diesmal vorgegeben\n",
+    "print(f\"elapsed time: {elapsed_time_2:.4f}s \\n{(elapsed_time-elapsed_time_2)/elapsed_time:.1%} faster\")\n",
+    "\n",
+    "plt.plot(t,v_var1, label = \"append to array\")\n",
+    "plt.plot(t,v, label = \"preallocate array\")\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.legend()\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "cd3e6b0d",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Wir sehen also, dass die Rechenzeit stark davon profitiert, wenn die Arrays nicht stÃ¤ndig neu gespeichert werden mÃ¼ssen. Bei der Arbeit mit Numpy Arrays ist es also anzuraten, die GrÃ¶ÃŸe der Arrays konstant zu halten, falls mÃ¶glich. Man nennt das auch *preallocate*, also vorzeitig Speicher anfordern."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "1d419556",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "## <font color='blue'>**Problemstellung 2: Fall mit FallschirmÃ¶ffnung - SciPy**\n",
+    "\n",
+    "#### <font color='blue'>**Aufgabenstellung**\n",
+    "\n",
+    "Es soll ein Skript entwickelt werden, das einen Fall mit Luftwiderstand mit Ã–ffnen eines Fallschirms simuliert. Dabei soll nicht das selbst implementierte *Euler explizit* Verfahren genutzt werden, sondern das Paket SciPy verwendet werden, das hÃ¶herwertige Verfahren in sehr effizienter Implementierung zur VerfÃ¼gung stellt, genutzt werden. Es ist zu empfehlen das Skript durch schrittweises HinzufÃ¼gen von KomplexitÃ¤t zu entwickeln, um den Umgang mit der LÃ¶sungsmethode von SciPy zu erlernen. Zum Schluss soll das Skript einen freien Fall simulieren, bei dem in einer bestimmten HÃ¶he der Fallschirm ausgelÃ¶st wird, was eine bestimmte Sekundenanzahl dauert (Ã–ffnen des Fallschirms durch VerÃ¤nderung von $A$ und $C_W$, linear interpoliert Ã¼ber die Ã–ffnungszeit)."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "f61a35f9",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "#### <font color='blue'>**VorÃ¼berlegung**\n",
+    "\n",
+    "Wie in der Aufgabenstellung vorgeschlagen, lassen wir das Skript schrittweise komplexer werden. Bei der Entwicklung von Programmen bietet es sich an, kleine Bestandteile einzeln oder nach kleinen Ã„nderungen zu testen, ob es so funktioniert, wie erwartet. Das grenzt bei Fehlern die Anzahl der mÃ¶glichen problematischen Stellen ein.\n",
+    "\n",
+    "Wir wollen also ganz simpel beginnen, und zunÃ¤chst anhand einer noch einfacheren DGL, der der gleichfÃ¶rmigen Beschleunigung (also ohne Luftwiderstand) testen, ob wir die Funktion aus *SciPy* ````scipy.integrate.solve_ivp()```` (ivp bedeuted initial value problem, also Anfangswertproblem) korrekt verwenden.\n",
+    "    \n",
+    "* AnschlieÃŸend wollen wir den Luftwiderstand einbauen.  \n",
+    "* Danach ein plÃ¶tzliches Ã–ffnen des Fallschirms nach vorgebener Zeit realisieren\n",
+    "* Dann soll das Ã–ffnen des Fallschirms nach bestimmter Zeit eine gewisse Zeit dauern.  \n",
+    "* Der nÃ¤chste Schritt ist das plÃ¶tzliche Ã–ffnen bei gegebener HÃ¶he (der Zeitpunkt ist unbekannt).   \n",
+    "* Zuletzt wollen wir das Ã–ffnen bei gegebener HÃ¶he (zu unbekanntem Zeitpunkt) und einer benÃ¶tigten Zeit der Ã–ffnung (zeitabhÃ¤ngig, aber zu unbekanntem Zeitpunkt) einbauen. "
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "ce3585dc",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "#### <font color='blue'>**Umsetzung**\n",
+    "    \n",
+    "Wir beginnen mit dem Import der nÃ¶tigen *SciPy* Module."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "65a9748c",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "import scipy.integrate\n",
+    "import scipy.interpolate"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "58615438",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Der erste Fall, den wir betrachten wollen, ist die GleichfÃ¶rmig beschleunigte Bewegung. In dieser ist die DGL sehr Ã¼bersichtlich, sodass sie sich gut eignet, um die Verwendung der LÃ¶sungsfunktion ````scipy.integrate.solve_ivp()```` zu testen. Diese Funktion benÃ¶tigt als Parameter in allen FÃ¤llen eine Funktion, die die Ã„nderungsrate von y ausgibt (entspricht also der rechten Seite der DGL), eine Liste mit zwei EintrÃ¤gen fÃ¼r die zu berechnende Zeitspanne, und einen Anfangswert y_0.\n",
+    "\n",
+    "Y eine Liste, bzw. 1D-Array mit mindestens einem Eintrag. Mehrere EintrÃ¤ge sind fÃ¼r fÃ¼r gekoppelte DGL Systeme mit mehreren Unbekannten notwendig. Das ist bei uns der Fall, denn wir haben eine Gleichung fÃ¼r die Geschwindigkeit, und eine Gleichung fÃ¼r die HÃ¶he, die aber von der Geschwindigkeit abhÃ¤ngig ist. Wir definieren also ````y[0]```` als die Geschwindigkeit und ````y[1]```` als die HÃ¶he. Das bedeuted, dass unser Anfangswert y_0 eine Liste oder ein Array mit zwei EintrÃ¤gen sein muss, und dass unsere Funktion, die wir der LÃ¶sungsfunktion Ã¼bergeben werden, auch eine Liste oder Array mit zwei EintrÃ¤gen ausgibt. Diese Ausgabe ist einmal die Ã„nderung der Geschwindigkeit (also Beschleunigung) und einmal die Ã„nderung der HÃ¶he (also Geschwindigkeit). Diese Funktion beschreibt die DGL und wird von der LÃ¶sungsfunktion in den Zeitschritten ausgewertet. Ich nenne sie ab jetzt DGL-Funktion.\n",
+    "\n",
+    "Zur Erinnerung: $ \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}t} v = -g$ und $ \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}t} h = v$ ist unser DGL System fÃ¼r die DGL-Funktion. Die DGL-Funktion benÃ¶tigt immer als erste Parameter die Zeit (t) und den aktuellen Ergebniswert (y). Danach kÃ¶nnen weitere selbst definierte Parameter kommen, falls erforderlich, wie zum Beispiel bei uns fÃ¼r das g.\n",
+    "\n",
+    "Wenn die DGL-Funktion weitere Parameter bekommt, so muss auch die LÃ¶sungsfunktion diese Parameter bekommen, damit sie die DGL-Funktion damit aufrufen kann. Das wird Ã¼ber den optionalen Parameter ````args```` gemacht. Args ist eine Liste mit den Parametern in genau der richtigen Reihenfolge fÃ¼r die DGL-Funktion.\n",
+    "\n",
+    "Der letzte optionale Parameter der LÃ¶sungsfunktion, den wir hier verwenden ist ````max_step````. Mit diesem geben wir eine maximale Schrittweite vor. Ist dieser nicht gegeben, entscheidet sich die LÃ¶sungsfunktion selbst fÃ¼r eine Schrittweite, die ihr sinnvoll erscheint. Wir mÃ¶chten aber eine schÃ¶n glatte LÃ¶sung haben und definieren deshalb eine maximale Schrittweite von 0.1.\n",
+    "\n",
+    "Im folgenden Code-Abschnitt definieren wir zunÃ¤chst die DGL-Funktion (wir nennen sie ````func````) und legen anschlieÃŸend die Felder fÃ¼r die Anfangswerte und das Zeitintervall an (wir nutzen die gleichen Werte wie in Ãœbung 8: $v_0 = 1$, $h_0 = 10$. Dann rufen wir die LÃ¶sungsfunktion mit allen besprochenen Parametern auf und speichern diese in einer Variablen ````sol1````, die wir uns mit ````print()```` genauer ansehen wollen."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "9a41ec39",
+   "metadata": {
+    "scrolled": false
+   },
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "#DGL Funktion\n",
+    "def func(t,y,g):\n",
+    "    return['?', '?'] #y[0] ist die aktuelle Geschwindigkeit\n",
+    "\n",
+    "#Anfangswerte\n",
+    "v_0, h_0 = 1, 10\n",
+    "y_0 = '?'\n",
+    "\n",
+    "#Zeitspanne\n",
+    "t_span = '?'\n",
+    "\n",
+    "#LÃ¶sung der DGL (hier einmal vorgegeben)\n",
+    "sol1 = scipy.integrate.solve_ivp(func, t_span, y_0, max_step = 0.1, args=(g,))\n",
+    "print(sol1)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "d3a1f0ef",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Das Ergebnis ist ein Dictionary mit vielen Informationen Ã¼ber die LÃ¶sung. FÃ¼r uns nun am interessantesten sind die Arrays mit den Zeit- und Ergebnisdaten hinter den Indizes \"t\" und \"y\". Wir nutzen Matplotlib, um die VerlÃ¤ufe von v und h Ã¼ber t zu plotten. "
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "fe135be9",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "# Plots nun immer gegeben. Beachte den Zugriff auf das Dictionary\n",
+    "plt.plot(sol1[\"t\"], sol1[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "4936e08c",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "plt.plot(sol1[\"t\"], sol1[\"y\"][1])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"h\")\n",
+    "plt.show()\n",
+    "\n",
+    "#t_e und v_e durch Interpolieren Herausfinden:\n",
+    "t_e = scipy.interpolate.interp1d(sol1[\"y\"][1],'?')('?')\n",
+    "v_e = '?'\n",
+    "print(f\"t_e = {t_e:.2f} s \\nv_e = {v_e:.2f} m/s\")"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "feaf1955",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "In Aufgabe 8 war nach der Zeit des Erreichens von h=0 $t_e$ und der erreichten Geschwindigkeit gefragt. Wir kÃ¶nnen nun die Interpolationsmethoden von SciPy verwenden, um diese Werte aus den Datenreihen zu ermitteln. Dazu interpolieren wir zuerst, bei welchem t eine HÃ¶he von 0 erreicht wird, und anschlieÃŸend, welche Geschwindigkeit bei dem gefundendenen $t_e$ anliegt. Diese Werte lassen wir uns ausgeben und sehen, dass diese gut mit den Werten aus Ãœbung 8 Ã¼bereinstimmen.\n",
+    "\n",
+    "Unser Verfahren funktioniert also, sodass wir die KomplexitÃ¤t erhÃ¶hen kÃ¶nnen. Wir bringen den Luftwiderstand ein. Dazu verwenden wir nach wie vor die DGL $\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}t}v(t) = \\frac{\\frac{\\rho}{2}v(t)^2C_WA-mg}{m}$ fÃ¼r v. Wir erweitern also die DGL-Funktion um die entpsrechenden Parameter und Ã¤ndern die RÃ¼ckgabe der Ã„nderung der Geschwindigkeit. Zudem wÃ¤hlen wir passendere Anfangsbedingungen fÃ¼r diesen geÃ¤nderten Fall wie in Problemstellung 1 ($v_0 = 0, h_0 = 1200$) und Zeitintervall 0 - 20s. FÃ¼r die restlichen Parameter haben wir noch die Werte aus Problemstellung 1 zur VerfÃ¼gung und lassen diese unverÃ¤ndert. Wir passen den Aufruf der LÃ¶sungsfunktion an und erhÃ¶hen die maximale SchrittgrÃ¶ÃŸe auf 0.25. Wir lassen uns die Ergebnisse wieder mit matplotlib grafisch darstellen und interpolieren fÃ¼r $t_e$ und $v_e$."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "20c0045e",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "def func2(t,y,g,'?'):\n",
+    "    return '?'\n",
+    "\n",
+    "v_0, h_0 = 0, 1200\n",
+    "y_0 = [v_0, h_0]\n",
+    "\n",
+    "t_span = [0,20]\n",
+    "\n",
+    "sol2 = scipy.integrate.solve_ivp('?')\n",
+    "\n",
+    "plt.plot(sol2[\"t\"], sol2[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "e5d25624",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "plt.plot(sol2[\"t\"], sol2[\"y\"][1])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"h\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "428ebd1a",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "#t_e durch interpolieren Herausfinden:\n",
+    "#t_e und v_e durch Interpolieren Herausfinden:\n",
+    "t_e = '?'\n",
+    "v_e = '?'\n",
+    "print(f\"t_e = {t_e:.2f} s \\nv_e = {v_e:.2f} m/s\")"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "7639511e",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Die Ergebnisse stimmen gut mit Aufgabenstellung 1 Ã¼berein. Als nÃ¤chstes wollen wir noch ein Problem mit der hergeleiteten Gleichung angehen. Die Herleitung besagte, dass die Luftwiderstandskraft der Gewichtskraft entgegengerichtet ist. Das ist nur fÃ¼r eine AbwÃ¤rtsbewegung gÃ¼ltig. In einer AufwÃ¤rtsbewegung bremst (bei dieser Herleitung) der Luftwiderstand den Aufstieg nicht, sondern verlÃ¤ngert ihn, oder lÃ¤sst ihn sogar Ã¼ber alle Grenzen steigen, wenn die Anfangsgeschwindigkeit hÃ¶her ist als die Gleichgewichtsgeschwindigkeit (da dann die Kraft nach oben gÃ¶ÃŸer ist, als nach unten). Wir kÃ¶nnen das ganz einfach das mit der Anfangsbedingung $v_0 = 110$ Ã¼berprÃ¼fen."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "502ab30d",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "v_0, h_0 = 110, 1200\n",
+    "y_0 = [v_0, h_0]\n",
+    "\n",
+    "t_span = [0,20]\n",
+    "\n",
+    "sol3 = scipy.integrate.solve_ivp(func2, '?')\n",
+    "plt.plot(sol3[\"t\"], sol3[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "16654a4e",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Wir kÃ¶nnten jetzt sagen, unser Modell soll nur fÃ¼r die AbwÃ¤rtsbewegung genutzt werden. Das wÃ¤re aber eine starke EinschrÃ¤nkung. Stattdessen werden wir die Funktion erweitern, sodass sie unterscheidet und das Vorzeichen der Widerstandskraft abhÃ¤ngig von der Bewegungsrichtung setzt.\n",
+    "\n",
+    "AuÃŸer der neuen Version der Funktion bleibt das Vorgehen gleich. Wir werden allerdings in den nÃ¤chsten Schritten meist nur die Geschwindigkeit Ã¼berprÃ¼fen. Du kannst gerne Plots fÃ¼r die HÃ¶he und die Interpolationen ergÃ¤nzen, wenn du interessiert bist."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "21aa5eaf",
+   "metadata": {
+    "scrolled": true
+   },
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "def func3(t,y,'?'):\n",
+    "    if '?' > '?':\n",
+    "        return ['?']\n",
+    "    else:\n",
+    "        return ['?']\n",
+    "\n",
+    "sol3 = scipy.integrate.solve_ivp('?')\n",
+    "plt.plot(sol3[\"t\"], sol3[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "7b64d873",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Jetzt steigt die Geschwindigkeit bei einer AufwÃ¤rtsbewegung nicht mehr an. Wenn man den Luftwiderstand oben etwas erhÃ¶ht (z.B. durch Eintragen von 0.1 statt A (0.008) in args), sieht man noch besser, wie der Luftwiderstand vor allem in BetragsmÃ¤ÃŸig hohen Geschwindigkeiten einen Einfluss hat, und um 0 herum nur wenig.\n",
+    "\n",
+    "FÃ¼r die nÃ¤chsten Schritte verwenden wir die Anfangsbedingungen $v_0 = 10, h_0 = 500$.\n",
+    "\n",
+    "Im nÃ¤chsten Schritt wollen wir simulieren, was passiert, wenn sich ein kleiner Fallschirm Ã¶ffnet. Dadurch steigen A und C_W an. Diese Ã„nderung kÃ¶nnen wir einfach in der DGL Funktion vornehmen. Wir kÃ¶nnten die Details der Ã„nderung (Zeitpunkt und neue Werte) entweder direkt festlegen (\"hardcoden\"), oder als weitere Parameter Ã¼bergeben. Hier entscheiden wir uns fÃ¼r das Ãœbergeben als Parameter. In der Funktion Ã¼berprÃ¼fen wir zu Beginn, ob die Zeit hinter dem Zeitpunkt des Ã–ffnens liegt. In diesem Fall werden C_W und A mit den neuen Werten ersetzt. Dabei sollten wir im Hinterkopf haben, dass die Funktion in jedem Zeitschritt neu aufgerufen wird, und so die Ã„nderung der Parameter auch immer funktionieren muss. Oder in anderen Worten, es reicht nicht, die Parameter einmal zu Ã¤ndern. Die Funktion merkt es sich nicht. Wir geben der LÃ¶sungsmethode beispielsweise die Werte 10s fÃ¼r den Zeitpunkt und $C_{W,neu} = 1.33$ und $A_{neu} = 0.2$ als Parameter. Wir kÃ¶nnen diese Werte als Literale Ã¼bergeben, mÃ¼ssen also nicht zwingend Variablen dafÃ¼r anlegen.\n",
+    "\n",
+    "Als weitere Verbesserung nutzen wir nicht mehr eine Fallunterscheidung fÃ¼r die Richtung der Bewegung, sondern die Funktion ````np.sign()````. Mathematisch ist diese definiert als $\\frac{x}{|x|}$. Wir erhalten also bei einem positiven Wert 1, und bei einem negativen Wert -1. Bei 0 wird eine 0 ausgegeben, auch wenn das strenggenommen mathematisch ein Grenzwert ist (da wir nicht durch 0 teilen kÃ¶nnen). Wir nutzen diese Funktion mit der Geschwindigkeit, um das Vorzeichen der Kraft zu beeinflussen. Da wir bei positiver Geschwindigkeit ein negatives Vorzeichen fÃ¼r die Kraft benÃ¶tigen und umgekehrt, multiplizieren wir -1. dazu. Das schÃ¶ne ist, dass wir nun nur ein return Statement benÃ¶tigen."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "b94915ce",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "v_0, h_0 = 10, 500\n",
+    "y_0 = [v_0, h_0]\n",
+    "\n",
+    "#Leg den Namen der neuen benÃ¶tigten parameter selbst fest\n",
+    "def func4(t, y, g, '?'):\n",
+    "    # Ã„nderung der Parameter\n",
+    "    if '?':\n",
+    "        C_W = '?'\n",
+    "        '?'\n",
+    "    # Kompaktere Version der Unterscheidung der Richtung durch Nutzen von -1*np.sign(y[0]) -> Ergibt -1, falls v positiv. \n",
+    "    return [(-1*np.sign(y[0])*'?', '?'\n",
+    "    \n",
+    "sol4 = scipy.integrate.solve_ivp('?')\n",
+    "plt.plot(sol4[\"t\"], sol4[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "1a1df676",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Wir sehen, dass nach 10 s der Betrag der Geschwindigkeit stark reduziert wird, da der Fallschirm fÃ¼r mehr Luftwiderstand sorgt. So stellt sich eine signifikant langsamere Gleichgewichtsgeschwindigkeit ein. Hier lassen wir uns auch einmal die HÃ¶he ausgeben:"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "69c9cc7a",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "plt.plot(sol4[\"t\"], sol4[\"y\"][1])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"h\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "cebc30f2",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Der nÃ¤chste Schritt ist eine Vorbereitung auf komplexere ParameterÃ¤nderungen.\n",
+    "Wir wollen vielleicht nicht noch mehr Parameter mit der LÃ¶sungsfunktion an die DGL-Funktion Ã¼bergeben und die DGL-Funktion so groÃŸ mit vielen Fallunterscheidungen werden lassen. (Das ist aber eine Design-Entscheidung. Theoretisch wÃ¤re das kein Problem).\n",
+    "\n",
+    "Um das zu verhindern kÃ¶nnen wir auch Funktionen fÃ¼r die entsprechenden Parameter definieren, und der LÃ¶sungs- bzw. DGL-Funktion diese Funktionen anstelle von diskreten Werten Ã¼bergeben. Dann kÃ¶nnen wir in den Funktionen fÃ¼r die Parameter alles definieren, wie wir es wollen, und mÃ¼ssen in der DGL-Funktion nur noch die Funktion mit ihren entsprechenden AbhÃ¤ngigkeiten aufrufen. Programmieren wir also den selben Fall wie eben, aber mit diesem anderen Ansatz.\n",
+    "\n",
+    "Wir erstellen also von t abhÃ¤ngige Funktionen fÃ¼r A und C_W, die je nach Zeitpunkt einen anderen Wert ausgeben. Die Werte sind hier hard-gecodet. Wir verstehen die Funktionen als eine komplexere MÃ¶glichkeit der Parameterdefinition.\n",
+    "\n",
+    "In der DGL Funktion muss nun berÃ¼cksichtigt werden, dass A und C_W keine Skalare mehr sind, sondern Funktionen von t. Wir mÃ¼ssen daher in der Formel bei jedem A und C_W dafÃ¼r sorgen, dass es ein Aufruf der Funktion von t ist.\n",
+    "\n",
+    "In der LÃ¶sungsfunktion Ã¼bergeben wir fÃ¼r A und C_W nun nicht die Skalaren Werte, sondern die Funktionen (mithilfe des Funktionsnamens aber ohne Parameteraufruf).\n",
+    "\n",
+    "Das PrÃ¼fen der Ergebnisse folgt wie zuvor."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "923eb6b0",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "def func_A('?'):\n",
+    "    if '?':\n",
+    "        return '?'\n",
+    "    else:\n",
+    "        '?'\n",
+    "\n",
+    "def '?':\n",
+    "    '?'\n",
+    "\n",
+    "#In der Funktion behandeln wir nun C_W und A als Funktionen, da wir wissen, dass hier zum LÃ¶sen auch eine Funktion Ã¼bergeben wird\n",
+    "def func5('?'):\n",
+    "    return ['?']\n",
+    "\n",
+    "#Ãœbergabe der Funktionen Ã¼ber ihren Namen als Parameter\n",
+    "sol5 = scipy.integrate.solve_ivp('?')\n",
+    "\n",
+    "plt.plot(sol5[\"t\"], sol5[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "9182e1c9",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "An diesem Beispiel konnten wir sehen, dass das Ãœbergeben von Funktionen als Parameter auch funktioniert.\n",
+    "\n",
+    "Damit kÃ¶nnen wir zum nÃ¤chsten Schritt kommen: Statt des plÃ¶tzlichen Sprungs der Parameter, wollen wir das langsame Ã–ffnen des Fallschirms innerhalb von 4s durch eine lineare Interpolation annÃ¤hern. Wir Ã¤ndern also die Funktionen fÃ¼r A und C_W so, dass wir zunÃ¤chst die Parameter einstellen, wann das Ã–ffnen beginnt (8s), wann es endet (12s), wie der Wert vorher ist, und wie der Wert nachher ist (s.o.). Dann wird mittels Fallunterscheidung geprÃ¼ft, ob die aktuelle Zeit t vor, wÃ¤hrend, oder nach dem Ã–ffnen liegt, und ein entsprechender Wert ausgegeben. Liegt der Zeitpunkt innerhalb des Ã–fnnungsintervalls wird linear zwischen den beiden Werten interpoliert. Das kann manuell, oder mit der SciPy Funktion gemacht werden.\n",
+    "\n",
+    "An der DGL-Funktion mÃ¼ssen wir nichts Ã¤ndern und an der LÃ¶sungsfunktion nur die Funktionsnamen fÃ¼r A und C_W, da wir diese mit einem Hinweis auf die lineare Funktion (ramp) versehen haben.\n",
+    "\n",
+    "In der Auswertung sehen wir einen glatteren Geschwindigkeitsverlauf. Je lÃ¤nger wir den Zeitraum einstellen und je niedriger der erhÃ¶hte Luftwiderstand ist, desto glatter wird er."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "a6be2f0d",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "def func_A_ramp'?':\n",
+    "    t_start = '?'\n",
+    "    '?'\n",
+    "    if '?':\n",
+    "        return '?'\n",
+    "    elif '?':\n",
+    "        return '?' #linear interpoliert\n",
+    "    else:\n",
+    "        return '?'\n",
+    "\n",
+    "def '?':\n",
+    "    '?'\n",
+    "\n",
+    "def func5('?'):\n",
+    "    return ['?']\n",
+    "\n",
+    "sol5 = scipy.integrate.solve_ivp('?')\n",
+    "\n",
+    "plt.plot(sol5[\"t\"], sol5[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "34074597",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Als nÃ¤chstes wollen wir den Schirm nicht zu einer bestimmten (bekannten) Zeit Ã¶ffnen, sondern zu einer bestimmten HÃ¶he (300m) Ã¶ffnen. Allerdings ist der Zeitpunkt dieser Ã„nderung unbekannt, da er von der LÃ¶sung der DGL abhÃ¤ngt. ZunÃ¤chst wollen wir wieder das plÃ¶tzliche Ã–ffnen ohne Interpolation umsetzen. Wir Ã¤ndern also die Funktionen fÃ¼r A und C_W so, dass sie nicht mehr von t, sondern von h abhÃ¤ngig sind.\n",
+    "\n",
+    "Nun mÃ¼ssen wir auch wieder die DGL_Funktion anpassen und A und C_W die aktuelle HÃ¶he, anstatt der aktuellen Zeit mitgeben. Auf die HÃ¶he kÃ¶nnen wir Ã¼ber y zugreifen.\n",
+    "\n",
+    "Am Aufruf der LÃ¶sungsfunktion und der grafischen Darstellung Ã¤ndert sich nichts."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "b3ba319a",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "def func_A('?'):\n",
+    "    if '?':\n",
+    "        return '?'\n",
+    "    else:\n",
+    "        '?'\n",
+    "\n",
+    "def '?':\n",
+    "    '?'\n",
+    "\n",
+    "#In der Funktion behandeln wir nun C_W und A als Funktionen von h (also y[1]), da wir wissen, dass hier zum LÃ¶sen auch eine Funktion Ã¼bergeben wird\n",
+    "def func6('?'):\n",
+    "    return ['?']\n",
+    "\n",
+    "#Ãœbergabe der Funktionen Ã¼ber ihren Namen als Parameter\n",
+    "sol6 = scipy.integrate.solve_ivp('?')\n",
+    "\n",
+    "plt.plot(sol6[\"t\"], sol6[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "a3c0b4b3",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Das hat funktioniert. Bis hierhin konnten wir alles gut in einer solchen Funktion fÃ¼r einen Parameter definieren.\n",
+    "\n",
+    "Das Ziel der Problemstellung ist etwas schwieriger. Der Fallschirm soll sich bei einer HÃ¶he von 300m Ã¶ffnen und dafÃ¼r 4 Sekunden brauchen. Das kÃ¶nnen wir aber nicht so leicht in eine Funktion programmieren, da der Zeitpunkt des Ã–ffnens nicht Ã¼bergeben werden kann, weil wir ihn vor der LÃ¶sung nicht wissen. Wir kÃ¶nnen auch nicht in der Funktion selbst den Zeitpunkt  bei erreichen speichern, da die Funktion ja jedes mal neu ausgewertet wird und gespeicherte Werte somit zurÃ¼ckgesetzt werden. Wir benÃ¶tigen aber fÃ¼r den zeitabhÃ¤ngigen Verlauf des Ã–ffnens irgendwie die Startzeit.\n",
+    "\n",
+    "Wir werden daher stattdessen die MÃ¶glichkeit nutzen, eine Simulation abhÃ¤ngig von einer Bedingung abzubrechen (Hier: Erreichen der AuslÃ¶sehÃ¶he) und dann eine neue Berechnung fÃ¼r den Rest der Simulation starten. Darin kÃ¶nnen wir dann problemlos die 4 Sekunden Ã–ffnungszeit berÃ¼cksichtigen, da dann der Zeitpunkt bekannt ist. Zum Schluss werden wir die Ergebnisse aneinanderfÃ¼gen.\n",
+    "\n",
+    "Wir beginnen erst einmal nur mit der ersten HÃ¤lfte, um zu prÃ¼fen, ob mit dem Event zum Beenden alles klappt. Wir benÃ¶tigen also fÃ¼r den ersten Abschnitt wieder die ursprÃ¼ngliche DGL-Funktion, ohne zeitabhÃ¤ngige Parameter.\n",
+    "\n",
+    "Dann erstellen wir die Funktion fÃ¼r das \"Event\". Die Funktion erhÃ¤lt die gleichen Argumente wie die DGL-Funktion und das Event gilt als eingetreten, wenn der RÃ¼ckgabewert 0 erreicht, bzw. zwischen zwei Schritten das Vorzeichen wechselt. Das bedeuted, wir mÃ¼ssen die Differenz von der aktuellen HÃ¶he und der gewÃ¼nschten AuslÃ¶sehÃ¶he zurÃ¼ckgeben. Auf der AuslÃ¶sehÃ¶he wird 0 zurÃ¼ckgegeben.\n",
+    "\n",
+    "Die Funktion wird noch mit dem Attribut ````.terminal = True```` versehen. Das signalisiert der LÃ¶sungsfunktion, dass die Berechnung bei eintreten des Events beendet werden soll. Ansonsten wÃ¼rde die Berechnung weiterlaufen und das Eintreten des Events lediglich mit Zeit und y-Werten protokolliert.\n",
+    "\n",
+    "Diese Eventfunktion wird der LÃ¶sungsfunktion als zusÃ¤tzlicher optionale parameter ````events```` Ã¼bergeben.\n",
+    "\n",
+    "Hier lassen wir uns noch einmal die LÃ¶sung per ````print()```` ausgeben, um anzusehen, wie das Event protokolliert wird."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "48a754aa",
+   "metadata": {
+    "scrolled": false
+   },
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "#Konstanten\n",
+    "A = 0.008\n",
+    "C_W = 0.18\n",
+    "\n",
+    "#Funktion fÃ¼r DGL eigentlich bereits implementiert. Hier mit besserem Namen\n",
+    "def func_const_param('?'):\n",
+    "    return ['?']\n",
+    "\n",
+    "#Funktion zur Definition des Events (Erreichen von AuslÃ¶sehÃ¶he 300). \n",
+    "def event_reach_300m('?'):\n",
+    "    return '?'\n",
+    "\n",
+    "event_reach_300m.terminal = True #Dieses Attribut sorgt dafÃ¼r, dass die Rechnung bei Eintreten des Events beendet wird. Ansonsten wird nur der Zeitpunkt und das Eintreten protokolliert\n",
+    "\n",
+    "sol_to_event = scipy.integrate.solve_ivp('?')\n",
+    "\n",
+    "print(sol_to_event)\n",
+    "\n",
+    "plt.plot(sol_to_event[\"t\"], sol_to_event[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.show()\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "24cad3b5",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Wir kÃ¶nnen einerseits im Dictionary der LÃ¶sung sehen, dass (message), wann (t_events) und mit welchen Werten (y_events) das Event eingetreten ist, und sehen auch im Plot und den t,y Daten im Dictionary, dass die Simulation beendet wurde. Nun schauen wir uns an, wie man die Rechnung fortsetzen kann wir benÃ¶tigen dazu zunÃ¤chst die neuen Anfangsbedingungen. Diese bekommen wir entweder aus den Event-Informationen aus dem Dictionary, oder aus dem letzten y Datensatz:"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "fb05cc05",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "#Nutzung der Event-Informationen:\n",
+    "y0_restart = sol_to_event[\"y_events\"][0][0]\n",
+    "t0_restart = '?'\n",
+    "print(y0_restart, t0_restart)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "b10fe113",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Nun mÃ¼ssen wir eine Designentscheidung treffen, hier gibt es wieder kein richtig oder falsch. Lassen wir t da weiterlaufen, wo es aufgehÃ¶rt hat, oder beginnen wir erneut bei 0 und verschieben es im Nachhinein? Wenn wir t weiterlaufen lassen, ist das ZusammenfÃ¼gen und das Ergebnis intuitiver. DafÃ¼r mÃ¼ssen wir mithilfe eines zusÃ¤tzlichen Parameters fÃ¼r die DGL-Funktion dafÃ¼r sorgen, dass wir der Rampenfunktion fÃ¼r A und C_W mitteilen kÃ¶nnen, zu welchem t die Simulation beginnt. Das wÃ¤re bei der anderen Variante nicht nÃ¶tig. DafÃ¼r mÃ¼sste man hinterher bei der Interpretation der Ergebnisse die Verschiebung bedenken. Ich mÃ¶chte gerne die erste Variante zeigen, in der t weiterlÃ¤uft.\n",
+    "\n",
+    "Wir passen also die Rampenfunktionen an, die nun sowohl t als auch t0 erhalten. Hierbei verzichten wir auf eine Fallunterscheidung, sondern nutzen fÃ¼r jedes mÃ¶gliche t die Interpolationsfunktion von Scipy. Dazu definieren wir durch 3 Wertepaare eine schrittweise lineare Funktion. Zwischen t0 und t0+4s steigt der Wert vom Anfangswert zum Endwert, und zwischen t0+4 und t0+100000 bleibt der Endwert bestehen. Um die Werte vor t0 kÃ¼mmern wir uns hier nicht, da wir wissen, dass die Funktion frÃ¼hestens bei t0 verwendet wird. Allerdings mÃ¼ssen wir aufpassen, da wir die Funktion nur bis t0+100000 definiert haben. Wollen wir lÃ¤ngere Zeit simulieren, muss das angepasst werden.\n",
+    "\n",
+    "Die DGL-Funktion muss dahingehend angepasst werden, dass sie A und C_W in AbhÃ¤ngigkeit der beiden Parameter auffruft.\n",
+    "\n",
+    "Der LÃ¶sungsfunktion mÃ¼ssen fÃ¼r den zweiten Schritt ebenfalls die angepassten Daten verwendet werden. Das betrifft das Zeitintervall (t0 bis 20 s), die Anfangsbedingungen y (haben wir eben schon ermittelt), die angepasste DGL-Funktion mit entsprechender Parameterliste. Ein Event brauchen wir nun nicht mehr."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "ef96d3c1",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "t_span_restart = '?' #Anpassen des Zeitintervalls\n",
+    "\n",
+    "# 4s Rampe von t0 an. Diesmal ohne Fallunterscheidung, sondern durch weiterfÃ¼hrende Definition der interpolierten Funktion\n",
+    "def func_A_4s('?'):\n",
+    "    A_before = 0.008\n",
+    "    A_after = 0.2\n",
+    "    return scipy.interpolate.interp1d(('?','?','?'),('?', '?', '?'))(t) #Zur ErklÃ¤rung siehe Text oben\n",
+    "\n",
+    "def func_C_W_4s('?'):\n",
+    "     '?'\n",
+    "\n",
+    "# Angepasste DGL-Funktion zur Ãœbergabe von t0\n",
+    "def func_restart_variable('?'):\n",
+    "    return ['?']\n",
+    "\n",
+    "#LÃ¶sung des zweiten Teils\n",
+    "sol_restart = scipy.integrate.solve_ivp('?')\n",
+    "\n",
+    "plt.plot(sol_restart[\"t\"], sol_restart[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "4c0e5fc4",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Das ist der zweite Teil der Rechnung. FÃ¼gen wir also die Ergebnisdaten zusammen (und nutzen dabei eine mit den anderen LÃ¶sungen vergleichbare Dictionary-Datenstruktur. Man kÃ¶nnte natÃ¼rlich auch getrennte Arrays verwenden):"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "4214e0aa",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "sol_combined = {}\n",
+    "sol_combined[\"t\"] = np.append(sol_to_event[\"t\"], sol_restart[\"t\"])\n",
+    "sol_combined[\"y\"] = [np.append(sol_to_event[\"y\"]'?', sol_'?'), np.append('?'.'?')]\n",
+    "\n",
+    "plt.figure(figsize=(10,4))\n",
+    "plt.subplot(1,2,1)\n",
+    "plt.plot(sol_combined[\"t\"], sol_combined[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.subplot(1,2,2)\n",
+    "plt.plot(sol_combined[\"t\"], sol_combined[\"y\"][1])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"h\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "c4d68732",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Damit haben wir die Problemstellung 2 erfÃ¼llt.\n",
+    "\n",
+    "Durch die ZerstÃ¼ckelung des Codes mit den ZwischenerklÃ¤rungen ist es allerdings nicht kompakt, und wenn man Werte verÃ¤ndern mÃ¶chte, mÃ¼sste man erst suchen, in welchem der Codeabschnitte diese erstellt wurden.\n",
+    "\n",
+    "Wir wollen daher noch einmal die Berechnung kompakt zusammenstellen. Dazu lÃ¶schen wir mit dem nÃ¤chsten Abschnitt ALLE Variablen des Notebooks (die angezeigten Ergebnisse bleiben da, aber wir kÃ¶nnen nicht mehr im Code darauf zugreifen). So kÃ¶nnen wir sicher sein, dass im dann folgenden Codeabschnitt alles nÃ¶tige fÃ¼r die komplette Berechnung definiert wird. Wir kopieren (nur) die einzelnen Abschnitte aus den oben stehenden Segmenten zusammen und lassen unnÃ¶tige Testausgaben und ZwischenerklÃ¤rungen weg."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "19bc677c",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "%reset"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "4d34ec65",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "#Dies ist eine Zusammenstellung der nÃ¶tigen Schritte fÃ¼r ein Skript, das Problemstellung 2 erfÃ¼llt und\n",
+    "#weniger zerstÃ¼ckelt ist als bei der schrittweise Erstellung oben. Es ist keine einzige neue Anweisung dabei.\n",
+    "\n",
+    "#import der packages\n",
+    "'?'\n",
+    "\n",
+    "#Konstanten\n",
+    "'?'\n",
+    "\n",
+    "#Anfangswerte und Zeitintervall\n",
+    "'?'\n",
+    "\n",
+    "#ZeitabhÃ¤ngige Funktionen fÃ¼r A und C_W\n",
+    "'?'\n",
+    "\n",
+    "#Eventfunktion (mit Zusweisung des Attributs zum Abbrechen der LÃ¶sung bei Eintreten)\n",
+    "'?'\n",
+    "\n",
+    "#DGL-Funktionen vor und nach dem Ã–ffnen des Schirms\n",
+    "'?'\n",
+    "\n",
+    "#LÃ¶sung bis zum Event\n",
+    "'?'\n",
+    "\n",
+    "#Auslesen der neuen Anfangszeit und Bedingungen und Anpassen des Zeitintervalls:\n",
+    "'?'\n",
+    "\n",
+    "#LÃ¶sung nach dem Event\n",
+    "'?'\n",
+    "\n",
+    "#Kombination der LÃ¶sungsdictionaries\n",
+    "'?'"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": null,
+   "id": "ed33382b",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "#Testausgabe der finalen LÃ¶sung (da es nicht direkt zum Skript gehÃ¶rt in einem neuen Codefeld)\n",
+    "plt.figure(figsize=(10,4))\n",
+    "plt.subplot(1,2,1)\n",
+    "plt.plot(sol_combined[\"t\"], sol_combined[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.subplot(1,2,2)\n",
+    "plt.plot(sol_combined[\"t\"], sol_combined[\"y\"][1])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"h\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "3b076e14",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "## <font color='blue'> **Schlussbemerkung**\n",
+    "    \n",
+    "Wir haben nun gesehen, dass wir mit numerischen Methoden auch Problemstellungen bearbeiten kÃ¶nnen, die analytisch schwer zu erfassen sind. Einerseits ist anhand des *Euler explizit* Verfahrens gezeigt worden, wie man ein solches Verfahren selber implementieren kann und welchen Einfluss ungÃ¼nstig gewÃ¤hlte Zeitschrittweiten haben kÃ¶nnen. Danach wurde die in *SciPy* enthaltene Methode fÃ¼r das numerische LÃ¶sen der DGL verwendet. Dabei wurde gezeigt, wie man verÃ¤nderliche Parameter in die Funktion einbringen kann, wie man mit Events auf Bedingungen prÃ¼ft und mehrere Rechnungen aneinander reihen kann.\n",
+    "\n",
+    "## <font color='blue'> **Ausblick**\n",
+    "\n",
+    "Wir kÃ¶nnen nun die gewÃ¼nschten Daten erzeugen. Allerdings mÃ¼ssen wir die Daten direkt weiterverarbeiten, z.B. als Plot. Wenn wir irgendwann mal wieder etwas mit den Daten machen wollen, mÃ¼ssen wir diese neu berechnen. Bei so kleinen Rechenzeiten wie hier ist die Rechenzeit zwar noch kein groÃŸes Thema, aber bei lÃ¤ngeren Rechenzeiten von Minuten, Stunden oder sogar Tagen ist das ein sehr groÃŸes Thema. AuÃŸerdem kÃ¶nnte es sein, dass wir die Daten jemand anderem zur VerfÃ¼gung stellen wollen, aber nicht das Programm weitergeben mÃ¶chten/kÃ¶nnen/dÃ¼rfen. Wir wollen uns daher in der nÃ¤chsten Ãœbung damit beschÃ¤ftigen, wie wir die Daten in Dateien langfristig abspeichern kÃ¶nnen, um sie zum Beispiel in anderen Skripten auszuwerten, oder an andere Personen zu Ã¼bergeben. AuÃŸerdem wollen wir die Dateien auch selbst wieder einlesen kÃ¶nnen. Ein weiteres Thema wird die Erweiterung auf mehrere Raumdimensionen (x,z statt h) sein.\n",
+    "    \n",
+    "## <font color='blue'> **Aufgaben zum selbst probieren**\n",
+    "\n",
+    "* Wandle das Skript so ab, dass die Rechnung auch beendet wird, wenn die HÃ¶he 0 erreicht wird. So interpoliert die Methode selbst nach $t_e$ und $v_e$. Du kannst dafÃ¼r dem argument ````events```` eine Liste mit Event-funktionen statt einer einzelnen Funktion Ã¼bergeben.\n",
+    "* Wandle das Skript weiter ab, dass weitere Event-Markierung gesetzt wird (die Berechnung aber nicht abbricht), wenn der die Geschwindigkeit einen bestimmten Wert ````v_event```` erreicht. Ãœbergebe diesen Wert der Funktion. (Denk daran, dass die Eventfunktion genau die gleichen Parameter haben muss, wie die Funktion der DGL). Teste es beispielsweise mit ````v_event = -20```` in den ````args````. Lass automatisch ausgeben, ob das Event eingetreten ist, und wenn ja, wann und bei welcher HÃ¶he. (Tipp: Lass die das Dictionary ausgeben und such, wie die entsprechenden Daten darin enthalten sind. Insbesondere, wie es aussieht, wenn es mehrere Eventfunktionen gibt, aber nicht alle Events eintreten)\n",
+    "* In Ãœbung 8 wurden einige Anregungen fÃ¼r weitere DGLs gegeben. Rechne diese Beispiele mit selbst gewÃ¤hlten Parametern nach und vergleiche die Ergebnisse mit Ergebnissen aus der analytischen Berechnung.\n",
+    "\n",
+    "FÃ¼ge deiner Kopie des Notebooks beliebig viele Codezellen hinzu, um die Aufgaben zu lÃ¶sen."
+   ]
+  }
+ ],
+ "metadata": {
+  "kernelspec": {
+   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
+   "language": "python",
+   "name": "python3"
+  },
+  "language_info": {
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+ },
+ "nbformat": 4,
+ "nbformat_minor": 5
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diff --git a/Uebung09/Uebung_09_LSG.ipynb b/Uebung09/Uebung_09_LSG.ipynb
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index 0000000..378d6e4
--- /dev/null
+++ b/Uebung09/Uebung_09_LSG.ipynb
@@ -0,0 +1,1443 @@
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+ "cells": [
+  {
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+   "id": "a359c3a6",
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+   "source": [
+    "# <font color='blue'>**Ãœbung 9 - Numerische Berechnung DGL am Beispiel der Modellierung eines Falls mit Luftwiderstand - SciPy**"
+   ]
+  },
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+   "id": "bebdcb38",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "In dieser Ãœbung mÃ¶chten wir uns noch einmal mit der Modellierung von freiem und gebremsten Fall in der ErdatmosphÃ¤re (z.B. Fallschirmsprung) beschÃ¤ftigen. In Ãœbung 8 haben wir gesehen, dass die analytische Modellierung bei komplexeren FÃ¤llen schnell sehr komplex bis zu unmÃ¶glich werden kann. In dieser Ãœbung sollen daher numerische LÃ¶sungen fÃ¼r die Problemstellungen entwickelt werden. Mit der numerischen LÃ¶sung kÃ¶nnen wir die KomplexitÃ¤t der Gleichung und Randbedingungen auch relativ leicht weiter erhÃ¶hen. Wir wollen beginnen, ein sehr einfaches numerisches Verfahren selbst zu implementieren, um die grundlegende Funktionsweise von numerischen Verfahren nachzuvollziehen. AnschlieÃŸend werden wir hÃ¶herwertige Verfahren nutzen, die uns das *SciPy* Package zur VerfÃ¼gung stellt. Als Nebenthema wollen wir die Ergebnisse in Dateien schreiben und aus Dateien einlesen. Das ermÃ¶glicht den Datenaustausch oder das Aufteilen von Berechnung und Auswertung auf verschiedene Programme. Im Gegensatz zu den Ãœbungen 5-7 mit dem Fachwerk wollen wir diesmal keine groÃŸe Klassenstruktur aufbauen, sondern die Bearbeitung eher in Form von kompakten Skripten vornehmen.\n",
+    "\n",
+    "### <font color='blue'>**Vorkenntnisse - Notebooks**\n",
+    "* Ãœbung 1\n",
+    "* Ãœbung 2\n",
+    "* Ãœbung 4\n",
+    "* Ãœbung 8\n",
+    "* Grundlagen Python\n",
+    "* Grundlagen Matplotlib\n",
+    "* Grundlagen Numpy\n",
+    "* Grundlagen SciPy\n",
+    "    \n",
+    "\n",
+    "### <font color='blue'>**Lernziele**\n",
+    "* Skripten einfacher numerischer LÃ¶sungsverfahren\n",
+    "* Einsatz von *SciPy* zur numerischen LÃ¶sung von Problemstellungen"
+   ]
+  },
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+   "id": "dec38dfd",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "## <font color='blue'>**Problemstellung 1: Freier Fall mit Luftwiderstand - eigene Implementierung**\n",
+    "\n",
+    "#### <font color='blue'>**Aufgabenstellung**\n",
+    "FÃ¼r einen freien Fall mit Luftwiderstand sollen angenÃ¤herte Ergebnisse fÃ¼r den Geschwindigkeits-Zeit und den HÃ¶he-Zeit Verlauf ermittelt werden. Aus diesen Werten kÃ¶nnen gesuchte GrÃ¶ÃŸen, wie die Zeit bis zum Boden, die Geschwindigkeit am Boden etc. abgelesen bzw. interpoliert werden. Dabei soll ein selbst implementiertes Verfahren (z.B. Euler explizit) zum Einsatz kommen.\n",
+    "Zusatz: Das Skript soll mÃ¶glichst schnelle Rechenzeit haben. Dazu sollen die Numpy Arrays auf verschiedene Arten verwendet werden. (1. AnhÃ¤ngen neuer Ergebnisse an \"wachsende\" Arrays und 2. Arrays der vollen benÃ¶tigten LÃ¤nge vor der Rechnung anlegen und mit Nullen fÃ¼llen, und wÃ¤hrend der Rechnung die EintrÃ¤ge mit den neuen Ergebnissen Ã¼berschreiben.) "
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "c9ceb5d3",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "#### <font color='blue'>**VorÃ¼berlegung**\n",
+    "    \n",
+    "ZunÃ¤chst sollten wir das Prinzip der numerischen Berechnung von gewÃ¶hnlichen Differentialgleichungen (z.B. $y'(t) = f(y(t),t)$) mithilfe von *Einschrittverfahren* ansehen. Es gibt Fachvorlesungen, in denen diese Verfahren genauer hergeleitet und hinsichtlich ihrer QualitÃ¤t analysiert werden. Wir wollen uns in dieser Ãœbung daher nur das Prinzip ansehen und ein gegebenes Verfahren (*Euler explizit*) implementieren.\n",
+    "Die Idee eines Einschrittverfahrens ist es, die kontinuierliche Zeit in kleine diskrete Zeitschritte aufzuteilen. FÃ¼r jeden Zeitschritt wird dann mithilfe der verfÃ¼gbaren Informationen angenÃ¤hert, welche Werte am nÃ¤chsten Zeitschritt gelten. Mit diesen wird dann wiederum der darauffolgende Zeitschritt angenÃ¤hert. So geht es immer weiter. Wie die Werte des nÃ¤chsten Zeitschritts angenÃ¤hert werden, hÃ¤ngt vom Verfahren ab. Das bereits angesprochene *Euler explizit* (auch *Euler vorwÃ¤rts* genannt) ist recht intuitiv zu verstehen. In einem Zeitschritt $t_n$ stehen (entweder als Anfangsbedingung oder als Ergebnis des vorherigen Schritts) Werte fÃ¼r $t$ und $y$ zur VerfÃ¼gung. Diese Werte kÃ¶nnen in die rechte Seite der Differentialgleichung eingesetzt werden. Alle Variablen und Parameter fÃ¼r diese sind dann bekannt. Daher fÃ¼hrt das Einsetzen zu einem **Zahlenwert**, der $y'(t)$, also der Steigung von $y(t)$ entspricht. In der analytischen LÃ¶sung gilt diese Steigung nur exakt am Punkt $t_n$. Nur ein infinitesimales StÃ¼ck weiter in der Zeit kÃ¶nnte eine andere Steigung haben. Im numerischen *Euler explizit* Verfahren nehmen wir jedoch diese Steigung fÃ¼r den kompletten Zeitschritt an. Damit setzen wir eine lineare Funktion mit der entsprechenden Steigung an den bisherigen Punkt ($t_n$, $y_n$) an und ermitteln so das nÃ¤chste Wertepaar ($t_{n+1}$, $y_{n+1}$). Wir kÃ¶nnen die Berechnungsvorschrift also schreiben als $y_{n+1} = y_n + \\Delta t \\cdot y'(y_n,t_n)$. Dieses Verfahren ist auch in der folgenden Abbildung skizziert. In der Abbildung ist der Zeitschritt $\\Delta t$ sehr groÃŸ, wodurch die LÃ¶sungen sich schnell voneinander entfernen. Man kann vermutlich gut nachvollziehen, dass eine Verringerung der Zeitschrittweite eine bessere Abbildung der LÃ¶sung zur Folge hat. Man nennt das Konvergenz (die numerische LÃ¶sung konvergiert gegen die exakte LÃ¶sung). Je gekrÃ¼mmter die LÃ¶sung ist, desto kleiner mÃ¼ssen die Zeitschritte sein, um der KrÃ¼mmung zu folgen."
+   ]
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+    "![expl_Einschrittverfahren_small.PNG](attachment:expl_Einschrittverfahren_small.PNG)"
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+    "FÃ¼r unsere Problemstellung nutzen wir die in Uebung 8 mit *SymPy* hergeleitete DGL:\n",
+    "$\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}t}v(t) = \\frac{\\frac{\\rho}{2}v(t)^2C_WA-mg}{m}$ und $\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}t}h(t) = v(t)$. Wir haben also zwei gekoppelte DGL. Das ist aber kein Problem. Wir kÃ¶nnen einfach in jedem Zeitschritt beide Gleichungen lÃ¶sen, da alle Daten vorhanden sind. Wir setzen also die bekannte Geschwindigkeit $v(t_n)$ in $\\frac{\\frac{\\rho}{2}v(t)^2C_WA-mg}{m}$ ein und erhalten den Wert fÃ¼r die aktuelle Beschleunigung. Mit diesem errechnen wir den Wert der Geschwindigkeit im nÃ¤chsten Zeitschritt. FÃ¼r die HÃ¶he setzen wir auch die momentane Geschwindigkeit in $v(t)$ ein. Das entspricht bereits der Ã„nderung der HÃ¶he, sodass wir den Wert der nÃ¤chsten HÃ¶he ermitteln kÃ¶nnen.\n",
+    "\n",
+    "Nun wissen wir, wie wir das Ergebnis rechnerisch ermitteln wollen. Nun mÃ¼ssen wir noch Ã¼berlegen, wie wir diese Berechnung im Programm umsetzen wollen. Als Ergebnis bieten sich numpy-Arrays an, die die Zeitreihen von $t$,$v$ und $h$ speichern, da wir diese einfach mit ````plt.plot(t,v)```` ansehen kÃ¶nnen. Dann benÃ¶tigen wir die Parameter fÃ¼r den Berechnungsfall ($g, m, \\rho, C_W, A$) mit Anfangsbedingungen $v_0, h_0$). Zuletzt benÃ¶tigen wir Parameter fÃ¼r die Zeitsteuerung. Eine Anfangszeit, Endzeit und den Zeitschritt $\\Delta t$, den wir ````dt```` nennen. Mit diesen Daten kÃ¶nnen wir eine Schleife aufbauen, die Ã¼ber alle Zeitschritte iteriert, die Berechnungen ausfÃ¼hrt und die neuen Ergebnisse in das entsprechende Array eintrÃ¤gt. Nachdem alle Zeitschritte berechnet sind, mÃ¶chten wir die Ergebnisse plotten."
+   ]
+  },
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+   "source": [
+    "#### <font color='blue'>**Umsetzung**\n",
+    "    \n",
+    "Wir wollen unseren Code anhand des Beispiels 1 aus Ãœbung 8 testen. Dazu verwenden wir folgende Werte (in SI Basiseinheiten):\n",
+    "\n",
+    "|GrÃ¶ÃŸe|Wert|\n",
+    "|-----|-----|\n",
+    "|$g$ | 9.81 |\n",
+    "|$m$ | 1 |\n",
+    "|$rho$ | 1.225 |\n",
+    "|$C_W$ | 0.18 |\n",
+    "|$A$ | 0.008 |\n",
+    "|$v_0$ | 0 |\n",
+    "|$h_0$ | 1200 |\n",
+    "    \n",
+    "Die Zeit soll von 0s bis 20s gehen, bei einer Zeitschrittweite von 0.25s.\n",
+    "    \n",
+    "Diese Variablen definieren wir zunÃ¤chst. Dann erstellen wir die numpy-Arrays fÃ¼r t, v, und h. t fÃ¼llen wir gleich komplett mithilfe von  ````np.arange()```` und den Variablen zur Zeitsteuerung. v und h  legen wir in dieser Version als Array mit zunÃ¤chst nur einem Eintrag, der Anfangsbedingung, an.\n",
+    "    \n",
+    "Dann iterieren wir in einer for-Schleife Ã¼ber alle Elemente des Arrays mit den Zeitwerten. Da wir immer den folgenden Zeitschritt berechnen, lassen wir die Schleife nur bis zum vorletzten Eintrag gehen. Sonst hÃ¤tten wir Ergebnisse fÃ¼r einen Zeitschritt spÃ¤ter, aber keinen Wert fÃ¼r t im Array. Innerhalb der Schleife berechnen wir zunÃ¤chst a mithilfe der aktuellen Werte (darauf greifen wir mit dem Index [-1] zu. und fÃ¼hren anschlieÃŸend die Berechnung von $v_{n+1}$ und $h_{n+1}$ aus. Die Ergebnisse hÃ¤ngen wir an die Arrays an. Allerdings kÃ¶nn neue Elemente an numpy Arrays nicht wie an Listen angehÃ¤ngt werden. Es gibt eine Funktion ````np.append(array, value)````, die wir nutzen. Sie erzeugt aber einen neuen Array, den wir mit dem gleichen Namen wie vorher abspeichern.\n",
+    "    \n",
+    "(Hintergrund: numpy arrays stehen im Speicher immer zusammen, wÃ¤hrend bei Listen die Elemente nur wissen, wo im Speicher das nÃ¤chste Element zu finden ist. Das auszuwerten und den Sprung im Speicher zu machen ist aber langsamer, als einfach einen Platz im Speicher weiterzugehen. DafÃ¼r kÃ¶nnen beliebig neue Listenelemente angehÃ¤ngt werden. Bei numpy arrays steht der Geschwindigkeitsvorteil im Vordergrund. DafÃ¼r kann der Array nicht beliebig erweitert werden, da der Speicher ja belegt sein kÃ¶nnte. Es muss also immer ein neuer Array an einer Stelle mit genug Platz im Speicher angelegt werden)\n",
+    "    \n",
+    "Zuletzt geben wir die Ergebnisse mit Matplotlib aus.\n",
+    "    \n",
+    "In der Notebookversion ohne LÃ¶sung kannst du dich selbst daran versuchen, die Zeilen zu fÃ¼llen. Die Kommentare und angefangenen Zeilen geben den Rahmen vor."
+   ]
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+   "source": [
+    "import matplotlib.pyplot as plt\n",
+    "import numpy as np"
+   ]
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+       "<Figure size 432x288 with 1 Axes>"
+      ]
+     },
+     "metadata": {
+      "needs_background": "light"
+     },
+     "output_type": "display_data"
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "#Parameter\n",
+    "g = 9.81\n",
+    "m = 1\n",
+    "rho = 1.225\n",
+    "C_W = 0.18\n",
+    "A = 0.008\n",
+    "\n",
+    "#Zeitschritte\n",
+    "t0 = 0\n",
+    "te = 20\n",
+    "dt = 0.25\n",
+    "\n",
+    "#Anfangswerte\n",
+    "v_0 = 0\n",
+    "h_0 = 1200\n",
+    "\n",
+    "#LÃ¶sungsfelder anlegen\n",
+    "t = np.arange(t0,te,dt)\n",
+    "v = np.array([v_0,])\n",
+    "h = np.array([h_0,])\n",
+    "\n",
+    "#Zeitschrittverfahren - Schleife Ã¼ber t (da immer von t bis t+dt gerechnet wird, wird das letzte t ausgeklammert)\n",
+    "for t_step in t[:-1]:\n",
+    "    \n",
+    "    #Ermittle Beschleunigung zum aktuellen Zeitpunkt\n",
+    "    #Mit [-1] wird immer auf das neueste Element, also den aktuellen Zustand zugegriffen\n",
+    "    \n",
+    "    a = (0.5*rho*v[-1]**2*C_W*A-m*g)/m\n",
+    "    \n",
+    "    #Ermittle v und s des nÃ¤chsten Schrittes unter Annahme konstanter a und v fÃ¼r den Schritt\n",
+    "    v_step = v[-1] + a * dt\n",
+    "    h_step = h[-1] + v[-1] * dt\n",
+    "    \n",
+    "    #HinzufÃ¼gen der Ergebnisse in die Arrays. (Durch das neu speichern nicht sehr effizient)\n",
+    "    v = np.append(v, v_step)\n",
+    "    h = np.append(h, h_step)\n",
+    "    \n",
+    "#Plotten der Ergebnisse v(t)\n",
+    "plt.plot(t,v)\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
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+   "execution_count": 3,
+   "id": "19c93ece",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
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+       "<Figure size 432x288 with 1 Axes>"
+      ]
+     },
+     "metadata": {
+      "needs_background": "light"
+     },
+     "output_type": "display_data"
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "#Plotten der Ergebnisse h(t)\n",
+    "plt.plot(t,h)\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"h\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
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+   "id": "b67581b5",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Wir haben nun numerische LÃ¶sungen fÃ¼r die Problemstellung 1 gefunden. Man kann den Einfluss des Luftwiderstands gut erkennen. Nutze den oben stehenden Code gerne, um verschiedene Parametervariationen zu untersuchen, oder die Zeitschrittweite zu verÃ¤ndern und diesen Einfluss zu beobachten.\n",
+    "\n",
+    "Hier noch ein kleiner Exkurs zur Zeitschrittweite in expliziten Verfahren: Wie in den Mathematikvorlesungen genauer behandelt wird, kÃ¶nnen explizite Methoden instabil werden, wenn die Zeitschritte fÃ¼r gegebene Problemstellungen zu groÃŸ sind. Ohne die Bedingungen und HintergrÃ¼nde zu vertiefen, kannst du dir das hier ansehen (Alle der im Folgenden aufgefÃ¼hrten Zeitschritte sind deutlich zu groÃŸ fÃ¼r eine realitÃ¤tsnahe Simulation). Lass dazu die Zeit z.B. bis 500 s laufen und verwende Zeitschrittweiten 10 s, 12 s, 16 s und 17 s. Bei 10 s siehst du in der Geschwindigkeit eine Oszillation, die aber abklingt und sich auf der Gleichgewichtsgeschwindigkeit einpendelt. Bei 12 s baut sich eine Oszillation auf, die nicht abklingt. Bei 16 s ist diese Oszillation deutlich ungleichmÃ¤ÃŸiger und bei 17 s wird die Oszillation extrem angefacht, sodass jedes lokale Maximum GrÃ¶ÃŸenordnungen grÃ¶ÃŸer ist, als das vorherige. Die Rechnung bricht ab, da die Werte den maximalen Wert fÃ¼r float Variablen ($1.797\\cdot10^{308}$) Ã¼berschreiten. Die kritische Zeitschrittweite ist problemabhÃ¤ngig. Man kann daher nicht ganz allgemein sagen, wie groÃŸ Zeitschritte sein mÃ¼ssen. Es gibt auch numerische Verfahren (implizite Verfahren), die nicht instabil werden kÃ¶nnen. Das bedeutet aber nur, dass solch exzessives Aufschaukeln ausgeschlossen ist. Es bedeutet nicht automatisch, dass die Ergebnisse bei groÃŸen Zeitschritten viel mit der exakten LÃ¶sung zu tun haben.\n",
+    "\n",
+    "#### <font color='blue'> **Performance**\n",
+    "\n",
+    "In der Aufgabenstellung war gefordert, das Skript mÃ¶glichst rechenzeitschonend aufzubauen und dazu verschiedene Arten der Arbeit mit den Arrays zu vergleichen. Bevor wir die zweite Variante programmieren, wollen wir dafÃ¼r sorgen, dass wir die Geschwindigkeit der Rechnung vergleichen kÃ¶nnen. Dazu messen wir die Zeit, die die Schleife benÃ¶tigt. Das Paket ````time```` bietet eine Methode ````time()````, die die aktuelle Uhrzeit, gemessen in s (inkl. Nachkommastellen) seit dem Zeitpunkt 01.01.1970, 0:00:00, ausgibt. Die Differenz dieser Zeit vor und nach dem Durchlaufen der Schleife gibt uns die Laufzeit. Um die Zeit besser vergleichen zu kÃ¶nnen, erhÃ¶hen wir die Anzahl an Iterationen, indem wir die Zeitschrittweite auf 0.001 s reduzieren und bis 50 s (also 50.000 Iterationen) rechnen. Wir speichern das Ergebnis und die benÃ¶tigte Zeit, um es spÃ¤ter mit der verbesserten Methode vergleichen zu kÃ¶nnen."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 4,
+   "id": "20af9ccd",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "elapsed time: 1.344s\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "#Wiederholung der Rechnung mit mehreren Zeitschritten und Rechenzeitmessung\n",
+    "\n",
+    "import time \n",
+    "\n",
+    "#Zeitschritte\n",
+    "t0 = 0\n",
+    "te = 50\n",
+    "dt = 0.001\n",
+    "\n",
+    "#LÃ¶sungsfelder anlegen bzw, zurÃ¼cksetzen\n",
+    "t = np.arange(t0,te,dt)\n",
+    "v = np.array([v_0,])\n",
+    "h = np.array([h_0,])\n",
+    "\n",
+    "clock_start = time.time()\n",
+    "\n",
+    "#Zeitschrittverfahren - Schleife Ã¼ber t (da immer von t bis t+dt gerechnet wird, wird das letzte t ausgeklammert)\n",
+    "for t_step in t[:-1]:\n",
+    "    \n",
+    "    #Ermittle Beschleunigung zum aktuellen Zeitpunkt\n",
+    "    a = (0.5*rho*v[-1]**2*C_W*A-m*g)/m\n",
+    "    \n",
+    "    #Ermittle v und s des nÃ¤chsten Schrittes unter Annahme konstanter a und v fÃ¼r den Schritt\n",
+    "    v_step = v[-1] + a * dt\n",
+    "    h_step = h[-1] + v[-1] * dt\n",
+    "    \n",
+    "    #HinzufÃ¼gen der Ergebnisse in die Arrays. (Durch das neu speichern nicht sehr effizient)\n",
+    "    v = np.append(v, v_step)\n",
+    "    h = np.append(h, h_step)\n",
+    "\n",
+    "#Speichern der Ergebnisse fÃ¼r den Vergleich\n",
+    "v_var1 = v\n",
+    "    \n",
+    "elapsed_time = time.time()-clock_start\n",
+    "\n",
+    "# Das folgende ist ein \"f-string\": Eine komfortable Art, Variablen mit bestimmtem Format in einem String auszugeben.\n",
+    "# Ein aktualisiertes Version des ersten Notebooks \"Python Grundlagen\" mit einer ErklÃ¤rung dazu steht nun bereit.\n",
+    "\n",
+    "print(f\"elapsed time: {elapsed_time:.3f}s\")"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "d73422a5",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Wie in der ErklÃ¤rung zu ````np.append()```` bereits angesprochen, wird in jeder Iteration das Array neu angelegt. Diese Les- und SchreibvorgÃ¤nge benÃ¶tigen Zeit. Wir kÃ¶nnen daher das Skript hinsichtlich der Laufzeit verbessern, indem wir von Beginn an die Arrays in der geforderten GrÃ¶ÃŸe anlegen und Ã¼berall eine 0 speichern. Dann mÃ¼ssen diese nicht stÃ¤ndig neu geschrieben werden. Wir kÃ¶nnen dann allerdings nicht mehr mit [-1] auf den neuesten Wert zugreifen, sondern wir mÃ¼ssen den entsprechenden Eintrag mit dem passenden Index ansteuern. Wir iterieren in der Schleife also Ã¼ber eine ZÃ¤hlvariable i, die dem Index des aktuellen Zeitpunkts entspricht. Die Ergebnisse tragen wir in das Array in das Feld i+1 ein. Durch die feste Zeitschrittweite ist die Anzahl benÃ¶tigter Iterationen bekannt. Der Array t hat die benÃ¶tigte LÃ¤nge, die wir mit ````len(array)```` heruasfinden. Die anderen Arrays benÃ¶tigen die selbe LÃ¤nge und wir mÃ¼ssen die ZÃ¤hlvariable von 0 bis zum vorletzten Eintrag laufen lassen. Die benÃ¶tigte Zeit ermitteln wir analog. Zum Schluss lassen wir uns die Zeit ausgeben, einen prozentualen Vergleich mit der zuvor benÃ¶tigten Zeit, sowie einen Plot mit den Ergebnissen aus beiden Rechnungen, um die Gleichheit zu verifizieren."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 5,
+   "id": "39f25155",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "elapsed time: 0.1300s \n",
+      "90.3% faster\n"
+     ]
+    },
+    {
+     "data": {
+      "image/png": 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+       "<Figure size 432x288 with 1 Axes>"
+      ]
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+     },
+     "output_type": "display_data"
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "#Modifizierte Version, in der die np.arrays nicht stÃ¤ndig neu gespeichert werden, sondern mit der bekannten Anzahl an Zeitschritten mit 0 initialisiert werden.\n",
+    "\n",
+    "#Zeitschritte\n",
+    "t0 = 0\n",
+    "te = 50\n",
+    "dt = 0.001\n",
+    "\n",
+    "#LÃ¶sungsfelder anlegen bzw, zurÃ¼cksetzen\n",
+    "t = np.arange(t0,te,dt)\n",
+    "v = np.zeros(len(t))\n",
+    "h = np.zeros(len(t))\n",
+    "\n",
+    "v[0] = v_0\n",
+    "h[0] = h_0\n",
+    "             \n",
+    "clock_start = time.time()\n",
+    "             \n",
+    "for i in range(len(t)-1):\n",
+    "    \n",
+    "    #Ermittle Beschleunigung zum aktuellen Zeitpunkt\n",
+    "    a = (0.5*rho*v[i]**2*C_W*A-m*g)/m\n",
+    "    \n",
+    "    #Ermittle v und s des nÃ¤chsten Schrittes unter Annahme konstanter a und v fÃ¼r den Schritt\n",
+    "    v_step = v[i] + a * dt\n",
+    "    h_step = h[i] + v[i] * dt\n",
+    "    \n",
+    "    #HinzufÃ¼gen der Ergebnisse in die Arrays\n",
+    "    v[i+1] = v_step\n",
+    "    h[i+1] = h_step\n",
+    "             \n",
+    "elapsed_time_2 = time.time()-clock_start\n",
+    "\n",
+    "print(f\"elapsed time: {elapsed_time_2:.4f}s \\n{(elapsed_time-elapsed_time_2)/elapsed_time:.1%} faster\")\n",
+    "\n",
+    "plt.plot(t,v_var1, label = \"append to array\")\n",
+    "plt.plot(t,v, label = \"preallocate array\")\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.legend()\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
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+   "id": "37072d6b",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Wir sehen also, dass die Rechenzeit stark davon profitiert, wenn die Arrays nicht stÃ¤ndig neu gespeichert werden mÃ¼ssen. Bei der Arbeit mit Numpy Arrays ist es also anzuraten, die GrÃ¶ÃŸe der Arrays konstant zu halten, falls mÃ¶glich. Man nennt das auch *preallocate*, also vorzeitig Speicher anfordern."
+   ]
+  },
+  {
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+   "id": "42efc8a6",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "## <font color='blue'>**Problemstellung 2: Fall mit FallschirmÃ¶ffnung - SciPy**\n",
+    "\n",
+    "#### <font color='blue'>**Aufgabenstellung**\n",
+    "\n",
+    "Es soll ein Skript entwickelt werden, das einen Fall mit Luftwiderstand mit Ã–ffnen eines Fallschirms simuliert. Dabei soll nicht das selbst implementierte *Euler explizit* Verfahren genutzt werden, sondern das Paket SciPy verwendet werden, das hÃ¶herwertige Verfahren in sehr effizienter Implementierung zur VerfÃ¼gung stellt, genutzt werden. Es ist zu empfehlen das Skript durch schrittweises HinzufÃ¼gen von KomplexitÃ¤t zu entwickeln, um den Umgang mit der LÃ¶sungsmethode von SciPy zu erlernen. Zum Schluss soll das Skript einen freien Fall simulieren, bei dem in einer bestimmten HÃ¶he der Fallschirm ausgelÃ¶st wird, was eine bestimmte Sekundenanzahl dauert (Ã–ffnen des Fallschirms durch VerÃ¤nderung von $A$ und $C_W$, linear interpoliert Ã¼ber die Ã–ffnungszeit)."
+   ]
+  },
+  {
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+   "id": "77f6816f",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "#### <font color='blue'>**VorÃ¼berlegung**\n",
+    "\n",
+    "Wie in der Aufgabenstellung vorgeschlagen, lassen wir das Skript schrittweise komplexer werden. Bei der Entwicklung von Programmen bietet es sich an, kleine Bestandteile einzeln oder nach kleinen Ã„nderungen zu testen, ob es so funktioniert, wie erwartet. Das grenzt bei Fehlern die Anzahl der mÃ¶glichen problematischen Stellen ein.\n",
+    "\n",
+    "Wir wollen also ganz simpel beginnen, und zunÃ¤chst anhand einer noch einfacheren DGL, der der gleichfÃ¶rmigen Beschleunigung (also ohne Luftwiderstand) testen, ob wir die Funktion aus *SciPy* ````scipy.integrate.solve_ivp()```` (ivp bedeuted initial value problem, also Anfangswertproblem) korrekt verwenden.\n",
+    "    \n",
+    "* AnschlieÃŸend wollen wir den Luftwiderstand einbauen.  \n",
+    "* Danach ein plÃ¶tzliches Ã–ffnen des Fallschirms nach vorgebener Zeit realisieren\n",
+    "* Dann soll das Ã–ffnen des Fallschirms nach bestimmter Zeit eine gewisse Zeit dauern.  \n",
+    "* Der nÃ¤chste Schritt ist das plÃ¶tzliche Ã–ffnen bei gegebener HÃ¶he (der Zeitpunkt ist unbekannt).   \n",
+    "* Zuletzt wollen wir das Ã–ffnen bei gegebener HÃ¶he (zu unbekanntem Zeitpunkt) und einer benÃ¶tigten Zeit der Ã–ffnung (zeitabhÃ¤ngig, aber zu unbekanntem Zeitpunkt) einbauen. "
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "fbf0bc5a",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "#### <font color='blue'>**Umsetzung**\n",
+    "    \n",
+    "Wir beginnen mit dem Import der nÃ¶tigen *SciPy* Module."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 6,
+   "id": "447c1e9d",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "import scipy.integrate\n",
+    "import scipy.interpolate"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "9cd514ef",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Der erste Fall, den wir betrachten wollen, ist die GleichfÃ¶rmig beschleunigte Bewegung. In dieser ist die DGL sehr Ã¼bersichtlich, sodass sie sich gut eignet, um die Verwendung der LÃ¶sungsfunktion ````scipy.integrate.solve_ivp()```` zu testen. Diese Funktion benÃ¶tigt als Parameter in allen FÃ¤llen eine Funktion, die die Ã„nderungsrate von y ausgibt (entspricht also der rechten Seite der DGL), eine Liste mit zwei EintrÃ¤gen fÃ¼r die zu berechnende Zeitspanne, und einen Anfangswert y_0.\n",
+    "\n",
+    "Y eine Liste, bzw. 1D-Array mit mindestens einem Eintrag. Mehrere EintrÃ¤ge sind fÃ¼r fÃ¼r gekoppelte DGL Systeme mit mehreren Unbekannten notwendig. Das ist bei uns der Fall, denn wir haben eine Gleichung fÃ¼r die Geschwindigkeit, und eine Gleichung fÃ¼r die HÃ¶he, die aber von der Geschwindigkeit abhÃ¤ngig ist. Wir definieren also ````y[0]```` als die Geschwindigkeit und ````y[1]```` als die HÃ¶he. Das bedeuted, dass unser Anfangswert y_0 eine Liste oder ein Array mit zwei EintrÃ¤gen sein muss, und dass unsere Funktion, die wir der LÃ¶sungsfunktion Ã¼bergeben werden, auch eine Liste oder Array mit zwei EintrÃ¤gen ausgibt. Diese Ausgabe ist einmal die Ã„nderung der Geschwindigkeit (also Beschleunigung) und einmal die Ã„nderung der HÃ¶he (also Geschwindigkeit). Diese Funktion beschreibt die DGL und wird von der LÃ¶sungsfunktion in den Zeitschritten ausgewertet. Ich nenne sie ab jetzt DGL-Funktion.\n",
+    "\n",
+    "Zur Erinnerung: $ \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}t} v = -g$ und $ \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}t} h = v$ ist unser DGL System fÃ¼r die DGL-Funktion. Die DGL-Funktion benÃ¶tigt immer als erste Parameter die Zeit (t) und den aktuellen Ergebniswert (y). Danach kÃ¶nnen weitere selbst definierte Parameter kommen, falls erforderlich, wie zum Beispiel bei uns fÃ¼r das g.\n",
+    "\n",
+    "Wenn die DGL-Funktion weitere Parameter bekommt, so muss auch die LÃ¶sungsfunktion diese Parameter bekommen, damit sie die DGL-Funktion damit aufrufen kann. Das wird Ã¼ber den optionalen Parameter ````args```` gemacht. Args ist eine Liste mit den Parametern in genau der richtigen Reihenfolge fÃ¼r die DGL-Funktion.\n",
+    "\n",
+    "Der letzte optionale Parameter der LÃ¶sungsfunktion, den wir hier verwenden ist ````max_step````. Mit diesem geben wir eine maximale Schrittweite vor. Ist dieser nicht gegeben, entscheidet sich die LÃ¶sungsfunktion selbst fÃ¼r eine Schrittweite, die ihr sinnvoll erscheint. Wir mÃ¶chten aber eine schÃ¶n glatte LÃ¶sung haben und definieren deshalb eine maximale Schrittweite von 0.1.\n",
+    "\n",
+    "Im folgenden Code-Abschnitt definieren wir zunÃ¤chst die DGL-Funktion (wir nennen sie ````func````) und legen anschlieÃŸend die Felder fÃ¼r die Anfangswerte und das Zeitintervall an (wir nutzen die gleichen Werte wie in Ãœbung 8: $v_0 = 1$, $h_0 = 10$. Dann rufen wir die LÃ¶sungsfunktion mit allen besprochenen Parametern auf und speichern diese in einer Variablen ````sol1````, die wir uns mit ````print()```` genauer ansehen wollen."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 7,
+   "id": "8b520d80",
+   "metadata": {
+    "scrolled": false
+   },
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "  message: 'The solver successfully reached the end of the integration interval.'\n",
+      "     nfev: 128\n",
+      "     njev: 0\n",
+      "      nlu: 0\n",
+      "      sol: None\n",
+      "   status: 0\n",
+      "  success: True\n",
+      "        t: array([0.        , 0.06789714, 0.16789714, 0.26789714, 0.36789714,\n",
+      "       0.46789714, 0.56789714, 0.66789714, 0.76789714, 0.86789714,\n",
+      "       0.96789714, 1.06789714, 1.16789714, 1.26789714, 1.36789714,\n",
+      "       1.46789714, 1.56789714, 1.66789714, 1.76789714, 1.86789714,\n",
+      "       1.96789714, 2.        ])\n",
+      " t_events: None\n",
+      "        y: array([[  1.        ,   0.33392904,  -0.64707096,  -1.62807096,\n",
+      "         -2.60907096,  -3.59007096,  -4.57107096,  -5.55207096,\n",
+      "         -6.53307096,  -7.51407096,  -8.49507096,  -9.47607096,\n",
+      "        -10.45707096, -11.43807096, -12.41907096, -13.40007096,\n",
+      "        -14.38107096, -15.36207096, -16.34307096, -17.32407096,\n",
+      "        -18.30507096, -18.62      ],\n",
+      "       [ 10.        ,  10.04528498,  10.02962789,   9.91587079,\n",
+      "          9.7040137 ,   9.3940566 ,   8.9859995 ,   8.47984241,\n",
+      "          7.87558531,   7.17322822,   6.37277112,   5.47421402,\n",
+      "          4.47755693,   3.38279983,   2.18994273,   0.89898564,\n",
+      "         -0.49007146,  -1.97722855,  -3.56248565,  -5.24584275,\n",
+      "         -7.02729984,  -7.62      ]])\n",
+      " y_events: None\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "#DGL Funktion\n",
+    "def func(t,y,g):\n",
+    "    return[-g, y[0]] #y[0] ist die aktuelle Geschwindigkeit\n",
+    "\n",
+    "#Anfangswerte\n",
+    "v_0, h_0 = 1, 10\n",
+    "y_0 = [v_0, h_0]\n",
+    "\n",
+    "#Zeitspanne\n",
+    "t_span = [0,2]\n",
+    "\n",
+    "#LÃ¶sung der DGL\n",
+    "sol1 = scipy.integrate.solve_ivp(func, t_span, y_0, max_step = 0.1, args=(g,))\n",
+    "print(sol1)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "1f7483b7",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Das Ergebnis ist ein Dictionary mit vielen Informationen Ã¼ber die LÃ¶sung. FÃ¼r uns nun am interessantesten sind die Arrays mit den Zeit- und Ergebnisdaten hinter den Indizes \"t\" und \"y\". Wir nutzen Matplotlib, um die VerlÃ¤ufe von v und h Ã¼ber t zu plotten. "
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 8,
+   "id": "21c0eda8",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "data": {
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+    "#t_e und v_e durch Interpolieren Herausfinden:\n",
+    "t_e = scipy.interpolate.interp1d(sol1[\"y\"][1],sol1[\"t\"])(0)\n",
+    "v_e = scipy.interpolate.interp1d(sol1[\"t\"],sol1[\"y\"][0])(t_e)\n",
+    "print(f\"t_e = {t_e:.2f} s \\nv_e = {v_e:.2f} m/s\")"
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+    "In Aufgabe 8 war nach der Zeit des Erreichens von h=0 $t_e$ und der erreichten Geschwindigkeit gefragt. Wir kÃ¶nnen nun die Interpolationsmethoden von SciPy verwenden, um diese Werte aus den Datenreihen zu ermitteln. Dazu interpolieren wir zuerst, bei welchem t eine HÃ¶he von 0 erreicht wird, und anschlieÃŸend, welche Geschwindigkeit bei dem gefundendenen $t_e$ anliegt. Diese Werte lassen wir uns ausgeben und sehen, dass diese gut mit den Werten aus Ãœbung 8 Ã¼bereinstimmen.\n",
+    "\n",
+    "Unser Verfahren funktioniert also, sodass wir die KomplexitÃ¤t erhÃ¶hen kÃ¶nnen. Wir bringen den Luftwiderstand ein. Dazu verwenden wir nach wie vor die DGL $\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}t}v(t) = \\frac{\\frac{\\rho}{2}v(t)^2C_WA-mg}{m}$ fÃ¼r v. Wir erweitern also die DGL-Funktion um die entpsrechenden Parameter und Ã¤ndern die RÃ¼ckgabe der Ã„nderung der Geschwindigkeit. Zudem wÃ¤hlen wir passendere Anfangsbedingungen fÃ¼r diesen geÃ¤nderten Fall wie in Problemstellung 1 ($v_0 = 0, h_0 = 1200$) und Zeitintervall 0 - 20s. FÃ¼r die restlichen Parameter haben wir noch die Werte aus Problemstellung 1 zur VerfÃ¼gung und lassen diese unverÃ¤ndert. Wir passen den Aufruf der LÃ¶sungsfunktion an und erhÃ¶hen die maximale SchrittgrÃ¶ÃŸe auf 0.25. Wir lassen uns die Ergebnisse wieder mit matplotlib grafisch darstellen und interpolieren fÃ¼r $t_e$ und $v_e$."
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+    "plt.ylabel(\"h\")\n",
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+    "#t_e und v_e durch Interpolieren Herausfinden:\n",
+    "t_e = scipy.interpolate.interp1d(sol2[\"y\"][1],sol2[\"t\"])(0)\n",
+    "v_e = scipy.interpolate.interp1d(sol2[\"t\"],sol2[\"y\"][0])(t_e)\n",
+    "print(f\"t_e = {t_e:.2f} s \\nv_e = {v_e:.2f} m/s\")"
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+    "Die Ergebnisse stimmen gut mit Aufgabenstellung 1 Ã¼berein. Als nÃ¤chstes wollen wir noch ein Problem mit der hergeleiteten Gleichung angehen. Die Herleitung besagte, dass die Luftwiderstandskraft der Gewichtskraft entgegengerichtet ist. Das ist nur fÃ¼r eine AbwÃ¤rtsbewegung gÃ¼ltig. In einer AufwÃ¤rtsbewegung bremst (bei dieser Herleitung) der Luftwiderstand den Aufstieg nicht, sondern verlÃ¤ngert ihn, oder lÃ¤sst ihn sogar Ã¼ber alle Grenzen steigen, wenn die Anfangsgeschwindigkeit hÃ¶her ist als die Gleichgewichtsgeschwindigkeit (da dann die Kraft nach oben gÃ¶ÃŸer ist, als nach unten). Wir kÃ¶nnen das ganz einfach das mit der Anfangsbedingung $v_0 = 110$ Ã¼berprÃ¼fen."
+   ]
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+    "t_span = [0,20]\n",
+    "\n",
+    "sol3 = scipy.integrate.solve_ivp(func2, t_span, y_0, max_step = 0.25, args=(g, m, rho, C_W, A))\n",
+    "plt.plot(sol3[\"t\"], sol3[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
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+   "id": "65548b00",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Wir kÃ¶nnten jetzt sagen, unser Modell soll nur fÃ¼r die AbwÃ¤rtsbewegung genutzt werden. Das wÃ¤re aber eine starke EinschrÃ¤nkung. Stattdessen werden wir die Funktion erweitern, sodass sie unterscheidet und das Vorzeichen der Widerstandskraft abhÃ¤ngig von der Bewegungsrichtung setzt.\n",
+    "\n",
+    "AuÃŸer der neuen Version der Funktion bleibt das Vorgehen gleich. Wir werden allerdings in den nÃ¤chsten Schritten meist nur die Geschwindigkeit Ã¼berprÃ¼fen. Du kannst gerne Plots fÃ¼r die HÃ¶he und die Interpolationen ergÃ¤nzen, wenn du interessiert bist."
+   ]
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+   "metadata": {
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+   "outputs": [
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+     "data": {
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+    "def func3(t,y,g,m,rho,C_W,A):\n",
+    "    if y[0] > 0:\n",
+    "        return [(-0.5*rho*y[0]**2*C_W*A-m*g)/m, y[0]]\n",
+    "    else:\n",
+    "        return [(0.5*rho*y[0]**2*C_W*A-m*g)/m, y[0]]\n",
+    "\n",
+    "sol3 = scipy.integrate.solve_ivp(func3, t_span, y_0, max_step = 0.25, args=(g, m, rho, C_W, A))\n",
+    "plt.plot(sol3[\"t\"], sol3[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
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+    "Jetzt steigt die Geschwindigkeit bei einer AufwÃ¤rtsbewegung nicht mehr an. Wenn man den Luftwiderstand oben etwas erhÃ¶ht (z.B. durch Eintragen von 0.1 statt A (0.008) in args), sieht man noch besser, wie der Luftwiderstand vor allem in BetragsmÃ¤ÃŸig hohen Geschwindigkeiten einen Einfluss hat, und um 0 herum nur wenig.\n",
+    "\n",
+    "FÃ¼r die nÃ¤chsten Schritte verwenden wir die Anfangsbedingungen $v_0 = 10, h_0 = 500$.\n",
+    "\n",
+    "Im nÃ¤chsten Schritt wollen wir simulieren, was passiert, wenn sich ein kleiner Fallschirm Ã¶ffnet. Dadurch steigen A und C_W an. Diese Ã„nderung kÃ¶nnen wir einfach in der DGL Funktion vornehmen. Wir kÃ¶nnten die Details der Ã„nderung (Zeitpunkt und neue Werte) entweder direkt festlegen (\"hardcoden\"), oder als weitere Parameter Ã¼bergeben. Hier entscheiden wir uns fÃ¼r das Ãœbergeben als Parameter. In der Funktion Ã¼berprÃ¼fen wir zu Beginn, ob die Zeit hinter dem Zeitpunkt des Ã–ffnens liegt. In diesem Fall werden C_W und A mit den neuen Werten ersetzt. Dabei sollten wir im Hinterkopf haben, dass die Funktion in jedem Zeitschritt neu aufgerufen wird, und so die Ã„nderung der Parameter auch immer funktionieren muss. Oder in anderen Worten, es reicht nicht, die Parameter einmal zu Ã¤ndern. Die Funktion merkt es sich nicht. Wir geben der LÃ¶sungsmethode beispielsweise die Werte 10s fÃ¼r den Zeitpunkt und $C_{W,neu} = 1.33$ und $A{neu} = 0.2$ als Parameter.\n",
+    "\n",
+    "Als weitere Verbesserung nutzen wir nicht mehr eine Fallunterscheidung fÃ¼r die Richtung der Bewegung, sondern die Funktion ````np.sign()````. Mathematisch ist diese definiert als $\\frac{x}{|x|}$. Wir erhalten also bei einem positiven Wert 1, und bei einem negativen Wert -1. Bei 0 wird eine 0 ausgegeben, auch wenn das strenggenommen mathematisch ein Grenzwert ist (da wir nicht durch 0 teilen kÃ¶nnen). Wir nutzen diese Funktion mit der Geschwindigkeit, um das Vorzeichen der Kraft zu beeinflussen. Da wir bei positiver Geschwindigkeit ein negatives Vorzeichen fÃ¼r die Kraft benÃ¶tigen und umgekehrt, multiplizieren wir -1. dazu. Das schÃ¶ne ist, dass wir nun nur ein return Statement benÃ¶tigen."
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+       "<Figure size 432x288 with 1 Axes>"
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+    "v_0, h_0 = 10, 500\n",
+    "y_0 = [v_0, h_0]\n",
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+    "def func4(t, y, g, m, rho, C_W, A, t_event, C_W_new, A_new):\n",
+    "    # Ã„nderung der Parameter\n",
+    "    if t>=t_event:\n",
+    "        C_W = C_W_new\n",
+    "        A = A_new\n",
+    "    # Kompaktere Version der Unterscheidung der Richtung durch Nutzen von -1*np.sign(y[0]) -> Ergibt -1, falls v positiv. \n",
+    "    return [(-1*np.sign(y[0])*0.5*rho*y[0]**2*C_W*A-m*g)/m, y[0]]\n",
+    "    \n",
+    "sol4 = scipy.integrate.solve_ivp(func4, t_span, y_0, max_step = 0.25, args=(g, m, rho, C_W, A, 10, 1.33, 0.2))\n",
+    "plt.plot(sol4[\"t\"], sol4[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
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+    "Wir sehen, dass nach 10 s der Betrag der Geschwindigkeit stark reduziert wird, da der Fallschirm fÃ¼r mehr Luftwiderstand sorgt. So stellt sich eine signifikant langsamere Gleichgewichtsgeschwindigkeit ein. Hier lassen wir uns auch einmal die HÃ¶he ausgeben:"
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+    "plt.ylabel(\"h\")\n",
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+    "Der nÃ¤chste Schritt ist eine Vorbereitung auf komplexere ParameterÃ¤nderungen.\n",
+    "Wir wollen vielleicht nicht noch mehr Parameter mit der LÃ¶sungsfunktion an die DGL-Funktion Ã¼bergeben und die DGL-Funktion so groÃŸ mit vielen Fallunterscheidungen werden lassen. (Das ist aber eine Design-Entscheidung. Theoretisch wÃ¤re das kein Problem).\n",
+    "\n",
+    "Um das zu verhindern kÃ¶nnen wir auch Funktionen fÃ¼r die entsprechenden Parameter definieren, und der LÃ¶sungs- bzw. DGL-Funktion diese Funktionen anstelle von diskreten Werten Ã¼bergeben. Dann kÃ¶nnen wir in den Funktionen fÃ¼r die Parameter alles definieren, wie wir es wollen, und mÃ¼ssen in der DGL-Funktion nur noch die Funktion mit ihren entsprechenden AbhÃ¤ngigkeiten aufrufen. Programmieren wir also den selben Fall wie eben, aber mit diesem anderen Ansatz.\n",
+    "\n",
+    "Wir erstellen also von t abhÃ¤ngige Funktionen fÃ¼r A und C_W, die je nach Zeitpunkt einen anderen Wert ausgeben. Die Werte sind hier hard-gecodet. Wir verstehen die Funktionen als eine komplexere MÃ¶glichkeit der Parameterdefinition.\n",
+    "\n",
+    "In der DGL Funktion muss nun berÃ¼cksichtigt werden, dass A und C_W keine Skalare mehr sind, sondern Funktionen von t. Wir mÃ¼ssen daher in der Formel bei jedem A und C_W dafÃ¼r sorgen, dass es ein Aufruf der Funktion von t ist.\n",
+    "\n",
+    "In der LÃ¶sungsfunktion Ã¼bergeben wir fÃ¼r A und C_W nun nicht die Skalaren Werte, sondern die Funktionen (mithilfe des Funktionsnamens aber ohne Parameteraufruf).\n",
+    "\n",
+    "Das PrÃ¼fen der Ergebnisse folgt wie zuvor."
+   ]
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+       "<Figure size 432x288 with 1 Axes>"
+      ]
+     },
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+     },
+     "output_type": "display_data"
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "def func_A(t):\n",
+    "    if t<10:\n",
+    "        return 0.008\n",
+    "    else:\n",
+    "        return 0.2\n",
+    "\n",
+    "def func_C_W(t):\n",
+    "    if t<10:\n",
+    "        return 0.18\n",
+    "    else:\n",
+    "        return 1.33\n",
+    "\n",
+    "#In der Funktion behandeln wir nun C_W und A als Funktionen, da wir wissen, dass hier zum LÃ¶sen auch eine Funktion Ã¼bergeben wird\n",
+    "def func5(t, y, g, m, rho, C_W, A):\n",
+    "    return [(-1*np.sign(y[0])*0.5*rho*y[0]**2*C_W(t)*A(t)-m*g)/m, y[0]]\n",
+    "\n",
+    "#Ãœbergabe der Funktionen Ã¼ber ihren Namen als Parameter\n",
+    "sol5 = scipy.integrate.solve_ivp(func5, t_span, y_0, max_step = 0.25, args=(g, m, rho, func_C_W, func_A))\n",
+    "\n",
+    "plt.plot(sol5[\"t\"], sol5[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
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+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "An diesem Beispiel konnten wir sehen, dass das Ãœbergeben von Funktionen als Parameter auch funktioniert.\n",
+    "\n",
+    "Damit kÃ¶nnen wir zum nÃ¤chsten Schritt kommen: Statt des plÃ¶tzlichen Sprungs der Parameter, wollen wir das langsame Ã–ffnen des Fallschirms innerhalb von 4s durch eine lineare Interpolation annÃ¤hern. Wir Ã¤ndern also die Funktionen fÃ¼r A und C_W so, dass wir zunÃ¤chst die Parameter einstellen, wann das Ã–ffnen beginnt (8s), wann es endet (12s), wie der Wert vorher ist, und wie der Wert nachher ist (s.o.). Dann wird mittels Fallunterscheidung geprÃ¼ft, ob die aktuelle Zeit t vor, wÃ¤hrend, oder nach dem Ã–ffnen liegt, und ein entsprechender Wert ausgegeben. Liegt der Zeitpunkt innerhalb des Ã–fnnungsintervalls wird linear zwischen den beiden Werten interpoliert. Das kann manuell, oder mit der SciPy Funktion gemacht werden.\n",
+    "\n",
+    "An der DGL-Funktion mÃ¼ssen wir nichts Ã¤ndern und an der LÃ¶sungsfunktion nur die Funktionsnamen fÃ¼r A und C_W, da wir diese mit einem Hinweis auf die lineare Funktion (ramp) versehen haben.\n",
+    "\n",
+    "In der Auswertung sehen wir einen glatteren Geschwindigkeitsverlauf. Je lÃ¤nger wir den Zeitraum einstellen und je niedriger der erhÃ¶hte Luftwiderstand ist, desto glatter wird er."
+   ]
+  },
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+      ]
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+     "output_type": "display_data"
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "def func_A_ramp(t):\n",
+    "    t_start = 8\n",
+    "    t_end = 12\n",
+    "    A_before = 0.008\n",
+    "    A_after = 0.2\n",
+    "    if t<t_start:\n",
+    "        return A_before\n",
+    "    elif t<t_end:\n",
+    "        return A_before+(t-t_start)*((A_after-A_before)/(t_end-t_start)) # manuell linear interpoliert\n",
+    "    else:\n",
+    "        return A_after\n",
+    "\n",
+    "def func_C_W_ramp(t):\n",
+    "    t_start = 8\n",
+    "    t_end = 12\n",
+    "    C_W_before = 0.18\n",
+    "    C_W_after = 1.33\n",
+    "    if t<t_start:\n",
+    "        return C_W_before\n",
+    "    elif t<t_end:\n",
+    "        return scipy.interpolate.interp1d((t_start,t_end),(C_W_before, C_W_after))(t) # mit scipy linear interpoliert\n",
+    "    else:\n",
+    "        return C_W_after\n",
+    "\n",
+    "def func5(t, y, g, m, rho, C_W, A):\n",
+    "    return [(-1*np.sign(y[0])*0.5*rho*y[0]**2*C_W(t)*A(t)-m*g)/m, y[0]]\n",
+    "\n",
+    "sol5 = scipy.integrate.solve_ivp(func5, t_span, y_0, max_step = 0.25, args=(g, m, rho, func_C_W_ramp, func_A_ramp))\n",
+    "\n",
+    "plt.plot(sol5[\"t\"], sol5[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
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+   "source": [
+    "Als nÃ¤chstes wollen wir den Schirm nicht zu einer bestimmten (bekannten) Zeit Ã¶ffnen, sondern zu einer bestimmten HÃ¶he (300m) Ã¶ffnen. Allerdings ist der Zeitpunkt dieser Ã„nderung unbekannt, da er von der LÃ¶sung der DGL abhÃ¤ngt. ZunÃ¤chst wollen wir wieder das plÃ¶tzliche Ã–ffnen ohne Interpolation umsetzen. Wir Ã¤ndern also die Funktionen fÃ¼r A und C_W so, dass sie nicht mehr von t, sondern von h abhÃ¤ngig sind.\n",
+    "\n",
+    "Nun mÃ¼ssen wir auch wieder die DGL_Funktion anpassen und A und C_W die aktuelle HÃ¶he, anstatt der aktuellen Zeit mitgeben. Auf die HÃ¶he kÃ¶nnen wir Ã¼ber y zugreifen.\n",
+    "\n",
+    "Am Aufruf der LÃ¶sungsfunktion und der grafischen Darstellung Ã¤ndert sich nichts."
+   ]
+  },
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+      "text/plain": [
+       "<Figure size 432x288 with 1 Axes>"
+      ]
+     },
+     "metadata": {
+      "needs_background": "light"
+     },
+     "output_type": "display_data"
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "def func_A(h):\n",
+    "    if h>300:\n",
+    "        return 0.008\n",
+    "    else:\n",
+    "        return 0.2\n",
+    "\n",
+    "def func_C_W(h):\n",
+    "    if h>300:\n",
+    "        return 0.18\n",
+    "    else:\n",
+    "        return 1.33\n",
+    "\n",
+    "#In der Funktion behandeln wir nun C_W und A als Funktionen von h (also y[1]), da wir wissen, dass hier zum LÃ¶sen auch eine Funktion Ã¼bergeben wird\n",
+    "def func6(t, y, g, m, rho, C_W, A):\n",
+    "    return [(-1*np.sign(y[0])*0.5*rho*y[0]**2*C_W(y[1])*A(y[1])-m*g)/m, y[0]]\n",
+    "\n",
+    "#Ãœbergabe der Funktionen Ã¼ber ihren Namen als Parameter\n",
+    "sol6 = scipy.integrate.solve_ivp(func6, t_span, y_0, max_step = 0.25, args=(g, m, rho, func_C_W, func_A))\n",
+    "\n",
+    "plt.plot(sol6[\"t\"], sol6[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "40674516",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Das hat funktioniert. Bis hierhin konnten wir alles gut in einer solchen Funktion fÃ¼r einen Parameter definieren.\n",
+    "\n",
+    "Das Ziel der Problemstellung ist etwas schwieriger. Der Fallschirm soll sich bei einer HÃ¶he von 300m Ã¶ffnen und dafÃ¼r 4 Sekunden brauchen. Das kÃ¶nnen wir aber nicht so leicht in eine Funktion programmieren, da der Zeitpunkt des Ã–ffnens nicht Ã¼bergeben werden kann, weil wir ihn vor der LÃ¶sung nicht wissen. Wir kÃ¶nnen auch nicht in der Funktion selbst den Zeitpunkt  bei erreichen speichern, da die Funktion ja jedes mal neu ausgewertet wird und gespeicherte Werte somit zurÃ¼ckgesetzt werden. Wir benÃ¶tigen aber fÃ¼r den zeitabhÃ¤ngigen Verlauf des Ã–ffnens irgendwie die Startzeit.\n",
+    "\n",
+    "Wir werden daher stattdessen die MÃ¶glichkeit nutzen, eine Simulation abhÃ¤ngig von einer Bedingung abzubrechen (Hier: Erreichen der AuslÃ¶sehÃ¶he) und dann eine neue Berechnung fÃ¼r den Rest der Simulation starten. Darin kÃ¶nnen wir dann problemlos die 4 Sekunden Ã–ffnungszeit berÃ¼cksichtigen, da dann der Zeitpunkt bekannt ist. Zum Schluss werden wir die Ergebnisse aneinanderfÃ¼gen.\n",
+    "\n",
+    "Wir beginnen erst einmal nur mit der ersten HÃ¤lfte, um zu prÃ¼fen, ob mit dem Event zum Beenden alles klappt. Wir benÃ¶tigen also fÃ¼r den ersten Abschnitt wieder die ursprÃ¼ngliche DGL-Funktion, ohne zeitabhÃ¤ngige Parameter.\n",
+    "\n",
+    "Dann erstellen wir die Funktion fÃ¼r das \"Event\". Die Funktion erhÃ¤lt die gleichen Argumente wie die DGL-Funktion und das Event gilt als eingetreten, wenn der RÃ¼ckgabewert 0 erreicht, bzw. zwischen zwei Schritten das Vorzeichen wechselt. Das bedeuted, wir mÃ¼ssen die Differenz von der aktuellen HÃ¶he und der gewÃ¼nschten AuslÃ¶sehÃ¶he zurÃ¼ckgeben. Auf der AuslÃ¶sehÃ¶he wird 0 zurÃ¼ckgegeben.\n",
+    "\n",
+    "Die Funktion wird noch mit dem Attribut ````.terminal = True```` versehen. Das signalisiert der LÃ¶sungsfunktion, dass die Berechnung bei eintreten des Events beendet werden soll. Ansonsten wÃ¼rde die Berechnung weiterlaufen und das Eintreten des Events lediglich mit Zeit und y-Werten protokolliert.\n",
+    "\n",
+    "Diese Eventfunktion wird der LÃ¶sungsfunktion als zusÃ¤tzlicher optionale parameter ````events```` Ã¼bergeben.\n",
+    "\n",
+    "Hier lassen wir uns noch einmal die LÃ¶sung per ````print()```` ausgeben, um anzusehen, wie das Event protokolliert wird."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 20,
+   "id": "d866ae78",
+   "metadata": {
+    "scrolled": false
+   },
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "  message: 'A termination event occurred.'\n",
+      "     nfev: 194\n",
+      "     njev: 0\n",
+      "      nlu: 0\n",
+      "      sol: None\n",
+      "   status: 1\n",
+      "  success: True\n",
+      "        t: array([0.        , 0.10739467, 0.35739467, 0.60739467, 0.85739467,\n",
+      "       1.10739467, 1.35739467, 1.60739467, 1.85739467, 2.10739467,\n",
+      "       2.35739467, 2.60739467, 2.85739467, 3.10739467, 3.35739467,\n",
+      "       3.60739467, 3.85739467, 4.10739467, 4.35739467, 4.60739467,\n",
+      "       4.85739467, 5.10739467, 5.35739467, 5.60739467, 5.85739467,\n",
+      "       6.10739467, 6.35739467, 6.60739467, 6.85739467, 7.10739467,\n",
+      "       7.35739467, 7.60739467, 7.67890265])\n",
+      " t_events: [array([7.67890265])]\n",
+      "        y: array([[ 10.        ,   8.93795678,   6.47225665,   4.01358552,\n",
+      "          1.55926315,  -0.89333393,  -3.34473321,  -5.79251993,\n",
+      "         -8.23406288, -10.6667577 , -13.08803793, -15.49538567,\n",
+      "        -17.88634185, -20.25851592, -22.60959501, -24.93735236,\n",
+      "        -27.23965505, -29.51447095, -31.75987482, -33.97405363,\n",
+      "        -36.15531094, -38.30207045, -40.4128787 , -42.48640688,\n",
+      "        -44.52145185, -46.51693632, -48.47190832, -50.38553992,\n",
+      "        -52.2571253 , -54.08607818, -55.87192876, -57.61432008,\n",
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+      "text/plain": [
+       "<Figure size 432x288 with 1 Axes>"
+      ]
+     },
+     "metadata": {
+      "needs_background": "light"
+     },
+     "output_type": "display_data"
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "#Konstanten\n",
+    "A = 0.008\n",
+    "C_W = 0.18\n",
+    "\n",
+    "#Funktion fÃ¼r DGL eigentlich bereits implementiert. Hier mit besserem Namen\n",
+    "def func_const_param(t, y, g, m, rho, C_W, A):\n",
+    "    return [(-1*np.sign(y[0])*0.5*rho*y[0]**2*C_W*A-m*g)/m, y[0]]\n",
+    "\n",
+    "#Funktion zur Definition des Events (Erreichen von AuslÃ¶sehÃ¶he 300). \n",
+    "def event_reach_300m(t,y, g, m, rho, C_W, A):\n",
+    "    return y[1]-300\n",
+    "\n",
+    "event_reach_300m.terminal = True #Dieses Attribut sorgt dafÃ¼r, dass die Rechnung bei Eintreten des Events beendet wird. Ansonsten wird nur der Zeitpunkt und das Eintreten protokolliert\n",
+    "\n",
+    "sol_to_event = scipy.integrate.solve_ivp(func_const_param, t_span, y_0, max_step = 0.25, events = event_reach_300m, args=(g, m, rho, C_W, A))\n",
+    "\n",
+    "print(sol_to_event)\n",
+    "\n",
+    "plt.plot(sol_to_event[\"t\"], sol_to_event[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.show()\n"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "ccc50fb4",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Wir kÃ¶nnen einerseits im Dictionary der LÃ¶sung sehen, dass (message), wann (t_events) und mit welchen Werten (y_events) das Event eingetreten ist, und sehen auch im Plot und den t,y Daten im Dictionary, dass die Simulation beendet wurde. Nun schauen wir uns an, wie man die Rechnung fortsetzen kann wir benÃ¶tigen dazu zunÃ¤chst die neuen Anfangsbedingungen. Diese bekommen wir entweder aus den Event-Informationen aus dem Dictionary, oder aus dem letzten y Datensatz:"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 21,
+   "id": "bba13316",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "[-58.10466904 300.        ] 7.678902648317355\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "#Nutzung der Event-Informationen:\n",
+    "y0_restart = sol_to_event[\"y_events\"][0][0]\n",
+    "t0_restart = sol_to_event[\"t_events\"][0][0]\n",
+    "print(y0_restart, t0_restart)"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "b11ab784",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Nun mÃ¼ssen wir eine Designentscheidung treffen, hier gibt es wieder kein richtig oder falsch. Lassen wir t da weiterlaufen, wo es aufgehÃ¶rt hat, oder beginnen wir erneut bei 0 und verschieben es im Nachhinein? Wenn wir t weiterlaufen lassen, ist das ZusammenfÃ¼gen und das Ergebnis intuitiver. DafÃ¼r mÃ¼ssen wir mithilfe eines zusÃ¤tzlichen Parameters fÃ¼r die DGL-Funktion dafÃ¼r sorgen, dass wir der Rampenfunktion fÃ¼r A und C_W mitteilen kÃ¶nnen, zu welchem t die Simulation beginnt. Das wÃ¤re bei der anderen Variante nicht nÃ¶tig. DafÃ¼r mÃ¼sste man hinterher bei der Interpretation der Ergebnisse die Verschiebung bedenken. Ich mÃ¶chte gerne die erste Variante zeigen, in der t weiterlÃ¤uft.\n",
+    "\n",
+    "Wir passen also die Rampenfunktionen an, die nun sowohl t als auch t0 erhalten. Hierbei verzichten wir auf eine Fallunterscheidung, sondern nutzen fÃ¼r jedes mÃ¶gliche t die Interpolationsfunktion von Scipy. Dazu definieren wir durch 3 Wertepaare eine schrittweise lineare Funktion. Zwischen t0 und t0+4s steigt der Wert vom Anfangswert zum Endwert, und zwischen t0+4 und t0+100000 bleibt der Endwert bestehen. Um die Werte vor t0 kÃ¼mmern wir uns hier nicht, da wir wissen, dass die Funktion frÃ¼hestens bei t0 verwendet wird. Allerdings mÃ¼ssen wir aufpassen, da wir die Funktion nur bis t0+100000 definiert haben. Wollen wir lÃ¤ngere Zeit simulieren, muss das angepasst werden.\n",
+    "\n",
+    "Die DGL-Funktion muss dahingehend angepasst werden, dass sie A und C_W in AbhÃ¤ngigkeit der beiden Parameter auffruft.\n",
+    "\n",
+    "Der LÃ¶sungsfunktion mÃ¼ssen fÃ¼r den zweiten Schritt ebenfalls die angepassten Daten verwendet werden. Das betrifft das Zeitintervall (t0 bis 20 s), die Anfangsbedingungen y (haben wir eben schon ermittelt), die angepasste DGL-Funktion mit entsprechender Parameterliste. Ein Event brauchen wir nun nicht mehr."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 22,
+   "id": "a25d702d",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
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+      "image/png": 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+       "<Figure size 432x288 with 1 Axes>"
+      ]
+     },
+     "metadata": {
+      "needs_background": "light"
+     },
+     "output_type": "display_data"
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "t_span_restart = [t0_restart, 20] #Anpassen des Zeitintervalls\n",
+    "\n",
+    "# 4s Rampe von t0 an. Diesmal ohne Fallunterscheidung, sondern durch weiterfÃ¼hrende Definition der interpolierten Funktion\n",
+    "def func_A_4s(t, t0):\n",
+    "    A_before = 0.008\n",
+    "    A_after = 0.2\n",
+    "    return scipy.interpolate.interp1d((t0,t0+4,t0+100000),(A_before, A_after, A_after))(t) \n",
+    "\n",
+    "def func_C_W_4s(t, t0):\n",
+    "    C_W_before = 0.18\n",
+    "    C_W_after = 1.33\n",
+    "    return scipy.interpolate.interp1d((t0,t0+4,t0+100000),(C_W_before, C_W_after, C_W_after))(t) \n",
+    "\n",
+    "# Angepasste DGL-Funktion zur Ãœbergabe von t0\n",
+    "def func_restart_variable(t, y, g, m, rho, C_W, A, t0):\n",
+    "    return [(-1*np.sign(y[0])*0.5*rho*y[0]**2*C_W(t,t0)*A(t,t0)-m*g)/m, y[0]]\n",
+    "\n",
+    "#LÃ¶sung des zweiten Teils\n",
+    "sol_restart = scipy.integrate.solve_ivp(func_restart_variable, t_span_restart, y0_restart, max_step = 0.25, args=(g, m, rho, func_C_W_4s, func_A_4s, t_span_restart[0]))\n",
+    "\n",
+    "plt.plot(sol_restart[\"t\"], sol_restart[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "7b31e45b",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Das ist der zweite Teil der Rechnung. FÃ¼gen wir also die Ergebnisdaten zusammen (und nutzen dabei eine mit den anderen LÃ¶sungen vergleichbare Dictionary-Datenstruktur. Man kÃ¶nnte natÃ¼rlich auch getrennte Arrays verwenden):"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 23,
+   "id": "6ebe2d30",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
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+      "text/plain": [
+       "<Figure size 720x288 with 2 Axes>"
+      ]
+     },
+     "metadata": {
+      "needs_background": "light"
+     },
+     "output_type": "display_data"
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "sol_combined = {}\n",
+    "sol_combined[\"t\"] = np.append(sol_to_event[\"t\"], sol_restart[\"t\"])\n",
+    "sol_combined[\"y\"] = [np.append(sol_to_event[\"y\"][0], sol_restart[\"y\"][0]), np.append(sol_to_event[\"y\"][1], sol_restart[\"y\"][1])]\n",
+    "\n",
+    "plt.figure(figsize=(10,4))\n",
+    "plt.subplot(1,2,1)\n",
+    "plt.plot(sol_combined[\"t\"], sol_combined[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.subplot(1,2,2)\n",
+    "plt.plot(sol_combined[\"t\"], sol_combined[\"y\"][1])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"h\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "7862f369",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "Damit haben wir die Problemstellung 2 erfÃ¼llt.\n",
+    "\n",
+    "Durch die ZerstÃ¼ckelung des Codes mit den ZwischenerklÃ¤rungen ist es allerdings nicht kompakt, und wenn man Werte verÃ¤ndern mÃ¶chte, mÃ¼sste man erst suchen, in welchem der Codeabschnitte diese erstellt wurden.\n",
+    "\n",
+    "Wir wollen daher noch einmal die Berechnung kompakt zusammenstellen. Dazu lÃ¶schen wir mit dem nÃ¤chsten Abschnitt ALLE Variablen des Notebooks (die angezeigten Ergebnisse bleiben da, aber wir kÃ¶nnen nicht mehr im Code darauf zugreifen). So kÃ¶nnen wir sicher sein, dass im dann folgenden Codeabschnitt alles nÃ¶tige fÃ¼r die komplette Berechnung definiert wird. Wir kopieren (nur) die einzelnen Abschnitte aus den oben stehenden Segmenten zusammen und lassen unnÃ¶tige Testausgaben und ZwischenerklÃ¤rungen weg."
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 24,
+   "id": "dd2a9e91",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
+     "name": "stdout",
+     "output_type": "stream",
+     "text": [
+      "Once deleted, variables cannot be recovered. Proceed (y/[n])? y\n"
+     ]
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "%reset"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 25,
+   "id": "6e8f7bd4",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [],
+   "source": [
+    "#Dies ist eine Zusammenstellung der nÃ¶tigen Schritte fÃ¼r ein Skript, das Problemstellung 2 erfÃ¼llt und\n",
+    "#weniger zerstÃ¼ckelt ist als bei der schrittweise Erstellung oben. Es ist keine einzige neue Anweisung dabei.\n",
+    "\n",
+    "#import der packages\n",
+    "import numpy as np\n",
+    "import scipy.integrate\n",
+    "import scipy.interpolate\n",
+    "import matplotlib.pyplot as plt\n",
+    "\n",
+    "#Konstanten\n",
+    "g = 9.81\n",
+    "m = 1\n",
+    "rho = 1.225\n",
+    "C_W = 0.18\n",
+    "A = 0.008\n",
+    "\n",
+    "#Anfangswerte und Zeitintervall\n",
+    "v_0, h_0 = 10, 500\n",
+    "y_0 = [v_0, h_0]\n",
+    "t_span = [0,20]\n",
+    "\n",
+    "#ZeitabhÃ¤ngige Funktionen fÃ¼r A und C_W\n",
+    "def func_A_4s(t, t0):\n",
+    "    A_before = 0.008\n",
+    "    A_after = 0.2\n",
+    "    return scipy.interpolate.interp1d((t0,t0+4,t0+100000),(A_before, A_after, A_after))(t) \n",
+    "\n",
+    "def func_C_W_4s(t, t0):\n",
+    "    C_W_before = 0.18\n",
+    "    C_W_after = 1.33\n",
+    "    return scipy.interpolate.interp1d((t0,t0+4,t0+100000),(C_W_before, C_W_after, C_W_after))(t)\n",
+    "\n",
+    "#Eventfunktion (mit Zusweisung des Attributs zum Abbrechen der LÃ¶sung bei Eintreten)\n",
+    "def event_reach_300m(t,y, g, m, rho, C_W, A):\n",
+    "    return y[1]-300\n",
+    "\n",
+    "event_reach_300m.terminal = True\n",
+    "\n",
+    "#DGL-Funktionen vor und nach dem Ã–ffnen des Schirms\n",
+    "def func_const_param(t, y, g, m, rho, C_W, A):\n",
+    "    return [(-1*np.sign(y[0])*0.5*rho*y[0]**2*C_W*A-m*g)/m, y[0]]\n",
+    "\n",
+    "def func_restart_variable(t, y, g, m, rho, C_W, A, t0):\n",
+    "    return [(-1*np.sign(y[0])*0.5*rho*y[0]**2*C_W(t,t0)*A(t,t0)-m*g)/m, y[0]]\n",
+    "\n",
+    "#LÃ¶sung bis zum Event\n",
+    "sol_to_event = scipy.integrate.solve_ivp(func_const_param, t_span, y_0, max_step = 0.25, events = event_reach_300m, args=(g, m, rho, C_W, A))\n",
+    "\n",
+    "#Auslesen der neuen Anfangszeit und Bedingungen und Anpassen des Zeitintervalls:\n",
+    "y0_restart = sol_to_event[\"y_events\"][0][0]\n",
+    "t0_restart = sol_to_event[\"t_events\"][0][0]\n",
+    "t_span_restart = [t0_restart, 20]\n",
+    "\n",
+    "#LÃ¶sung nach dem Event\n",
+    "sol_restart = scipy.integrate.solve_ivp(func_restart_variable, t_span_restart, y0_restart, max_step = 0.25, args=(g, m, rho, func_C_W_4s, func_A_4s, t_span_restart[0]))\n",
+    "\n",
+    "#Kombination der LÃ¶sungsdictionaries\n",
+    "sol_combined = {}\n",
+    "sol_combined[\"t\"] = np.append(sol_to_event[\"t\"], sol_restart[\"t\"])\n",
+    "sol_combined[\"y\"] = [np.append(sol_to_event[\"y\"][0], sol_restart[\"y\"][0]), np.append(sol_to_event[\"y\"][1], sol_restart[\"y\"][1])]"
+   ]
+  },
+  {
+   "cell_type": "code",
+   "execution_count": 26,
+   "id": "b1046cf1",
+   "metadata": {},
+   "outputs": [
+    {
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+      "text/plain": [
+       "<Figure size 720x288 with 2 Axes>"
+      ]
+     },
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+     },
+     "output_type": "display_data"
+    }
+   ],
+   "source": [
+    "#Testausgabe der finalen LÃ¶sung (da es nicht direkt zum Skript gehÃ¶rt in einem neuen Codefeld)\n",
+    "plt.figure(figsize=(10,4))\n",
+    "plt.subplot(1,2,1)\n",
+    "plt.plot(sol_combined[\"t\"], sol_combined[\"y\"][0])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"v\")\n",
+    "plt.subplot(1,2,2)\n",
+    "plt.plot(sol_combined[\"t\"], sol_combined[\"y\"][1])\n",
+    "plt.xlabel(\"t\")\n",
+    "plt.ylabel(\"h\")\n",
+    "plt.show()"
+   ]
+  },
+  {
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+   "id": "31d84d3e",
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+   "source": [
+    "## <font color='blue'> **Schlussbemerkung**\n",
+    "    \n",
+    "Wir haben nun gesehen, dass wir mit numerischen Methoden auch Problemstellungen bearbeiten kÃ¶nnen, die analytisch schwer zu erfassen sind. Einerseits ist anhand des *Euler explizit* Verfahrens gezeigt worden, wie man ein solches Verfahren selber implementieren kann und welchen Einfluss ungÃ¼nstig gewÃ¤hlte Zeitschrittweiten haben kÃ¶nnen. Danach wurde die in *SciPy* enthaltene Methode fÃ¼r das numerische LÃ¶sen der DGL verwendet. Dabei wurde gezeigt, wie man verÃ¤nderliche Parameter in die Funktion einbringen kann, wie man mit Events auf Bedingungen prÃ¼ft und mehrere Rechnungen aneinander reihen kann.\n",
+    "\n",
+    "## <font color='blue'> **Ausblick**\n",
+    "\n",
+    "Wir kÃ¶nnen nun die gewÃ¼nschten Daten erzeugen. Allerdings mÃ¼ssen wir die Daten direkt weiterverarbeiten, z.B. als Plot. Wenn wir irgendwann mal wieder etwas mit den Daten machen wollen, mÃ¼ssen wir diese neu berechnen. Bei so kleinen Rechenzeiten wie hier ist die Rechenzeit zwar noch kein groÃŸes Thema, aber bei lÃ¤ngeren Rechenzeiten von Minuten, Stunden oder sogar Tagen ist das ein sehr groÃŸes Thema. AuÃŸerdem kÃ¶nnte es sein, dass wir die Daten jemand anderem zur VerfÃ¼gung stellen wollen, aber nicht das Programm weitergeben mÃ¶chten/kÃ¶nnen/dÃ¼rfen. Wir wollen uns daher in der nÃ¤chsten Ãœbung damit beschÃ¤ftigen, wie wir die Daten in Dateien langfristig abspeichern kÃ¶nnen, um sie zum Beispiel in anderen Skripten auszuwerten, oder an andere Personen zu Ã¼bergeben. AuÃŸerdem wollen wir die Dateien auch selbst wieder einlesen kÃ¶nnen. Ein weiteres Thema wird die Erweiterung auf mehrere Raumdimensionen (x,z statt h) sein.\n",
+    "    \n",
+    "## <font color='blue'> **Aufgaben zum selbst probieren**\n",
+    "\n",
+    "* Wandle das Skript so ab, dass die Rechnung auch beendet wird, wenn die HÃ¶he 0 erreicht wird. So interpoliert die Methode selbst nach $t_e$ und $v_e$. Du kannst dafÃ¼r dem argument ````events```` eine Liste mit Event-funktionen statt einer einzelnen Funktion Ã¼bergeben.\n",
+    "* Wandle das Skript weiter ab, dass weitere Event-Markierung gesetzt wird (die Berechnung aber nicht abbricht), wenn der die Geschwindigkeit einen bestimmten Wert ````v_event```` erreicht. Ãœbergebe diesen Wert der Funktion. (Denk daran, dass die Eventfunktion genau die gleichen Parameter haben muss, wie die Funktion der DGL). Teste es beispielsweise mit ````v_event = -20```` in den ````args````. Lass automatisch ausgeben, ob das Event eingetreten ist, und wenn ja, wann und bei welcher HÃ¶he. (Tipp: Lass die das Dictionary ausgeben und such, wie die entsprechenden Daten darin enthalten sind. Insbesondere, wie es aussieht, wenn es mehrere Eventfunktionen gibt, aber nicht alle Events eintreten)\n",
+    "* In Ãœbung 8 wurden einige Anregungen fÃ¼r weitere DGLs gegeben. Rechne diese Beispiele mit selbst gewÃ¤hlten Parametern nach und vergleiche die Ergebnisse mit Ergebnissen aus der analytischen Berechnung.\n",
+    "\n",
+    "FÃ¼ge deiner Kopie des Notebooks beliebig viele Codezellen hinzu, um die Aufgaben zu lÃ¶sen."
+   ]
+  }
+ ],
+ "metadata": {
+  "kernelspec": {
+   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
+   "language": "python",
+   "name": "python3"
+  },
+  "language_info": {
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+    "version": 3
+   },
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+   "name": "python",
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+  }
+ },
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+ "nbformat_minor": 5
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